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Convergence inconditionnelle

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En mathématiques, une série converge inconditionnellement si la série converge, quel que soit l'ordre des éléments. Par exemple, la série ∑ 1 2 n {\displaystyle \sum {\frac {1}{2^{n}}}} {\displaystyle \sum {\frac {1}{2^{n}}}}converge inconditionnellement car 1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ... {\displaystyle 1+1/2+1/4+1/8+\dots } {\displaystyle 1+1/2+1/4+1/8+\dots } mais aussi n'importe quel autre ordre, comme 1 / 4 + 1 / 64 + 1 + 1 / 128 + ... {\displaystyle 1/4+1/64+1+1/128+\dots } {\displaystyle 1/4+1/64+1+1/128+\dots }converge.

Définition

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Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et (xn)n∈N une suite d'éléments de X. On dit que la série ∑ xn converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente[1] si, pour toute permutation σ : N → N, la série ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie [2] .

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.

Lien avec les familles sommables

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Article détaillé: Famille sommable.

Théorème[1] —Une série de terme général xn est commutativement convergente si et seulement si la suite (xn)n∈N est une famille sommable, et toutes les sommes ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} sont alors égales à ∑n∈N xn.

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes[3] :

Lemme 1—Si toutes les séries ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite (xn)n∈N vérifie le critère de Cauchy pour les familles:

∀ V voisinage de 0 ∃ J V fini ⊂ N ∀ K fini ⊂ N ( K ∩ J V = ∅ ⇒ ∑ k ∈ K x k ∈ V ) . {\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall K{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(K\cap J_{V}=\varnothing \Rightarrow \sum _{k\in K}x_{k}\in V\right).} {\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall K{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(K\cap J_{V}=\varnothing \Rightarrow \sum _{k\in K}x_{k}\in V\right).}
Démonstration

Par contraposée, supposons que le critère de Cauchy pour les familles n'est pas vérifié, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage V de l'élément neutre 0 du groupe X tel que:

∀ J fini ⊂ N ∃ K ( J ) fini ⊂ N K ( J ) ∩ J = ∅ et ∑ k ∈ K ( J ) x k ∉ V . {\displaystyle \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \exists K(J){\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad K(J)\cap J=\varnothing {\text{ et }}\sum _{k\in K(J)}x_{k}\notin V.} {\displaystyle \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \exists K(J){\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad K(J)\cap J=\varnothing {\text{ et }}\sum _{k\in K(J)}x_{k}\notin V.}

En posant J0 = ∅ et, pour tout entier naturel n, Jn+1 = Jn ∪ K(Jn), on obtient une partition de N par les K(Jn). Il existe une permutation de N dans laquelle les éléments de chaque K(Jn) deviennent consécutifs. La série correspondante ne vérifie pas le critère de Cauchy.

Lemme 2—Si (xn)n∈N vérifie le critère de Cauchy pour les familles et si l'une des séries ∑ n = 0 ∞ x σ ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}} converge, alors (xn)n∈N est une famille sommable.

Démonstration

Supposons que (xn)n∈N vérifie le critère de Cauchy pour les familles et — sans perte de généralité — que la série ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} soit convergente, de somme S, c'est-à-dire:

∀ V voisinage de 0 ∃ N V ∀ n ≥ N V S − ∑ k = 0 n x k ∈ V . {\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists N_{V}\quad \forall n\geq N_{V}\quad S-\sum _{k=0}^{n}x_{k}\in V.} {\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists N_{V}\quad \forall n\geq N_{V}\quad S-\sum _{k=0}^{n}x_{k}\in V.}

Soient JV un ensemble associé à V dans le critère de Cauchy pour les familles, J un ensemble fini d'entiers naturels contenant JV, et n un entier majorant à la fois J et NV. L'ensemble {0, ... , n}\J est alors disjoint de JV, d'où

( ∑ k = 0 n x k ) − ∑ k ∈ J x k ∈ V . {\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)-\sum _{k\in J}x_{k}\in V.} {\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)-\sum _{k\in J}x_{k}\in V.}

On en déduit que

∀ V voisinage de 0 ∃ J V fini ⊂ N ∀ J fini ⊂ N ( J ⊃ J V ⇒ S − ∑ k ∈ J x k ∈ V + V ) , {\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(J\supset J_{V}\Rightarrow S-\sum _{k\in J}x_{k}\in V+V\right),} {\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(J\supset J_{V}\Rightarrow S-\sum _{k\in J}x_{k}\in V+V\right),}

ce qui prouve que la suite est sommable, de somme S.

Autres caractérisations

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Théorème—Une série de terme général xn est commutativement convergente si et seulement si pour toute suite (εn)n∈N avec εn = ±1, la série ∑ n = 0 ∞ ε n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}} converge, ou encore si toute sous-série Σ m = 0 ∞ x n m {\displaystyle \Sigma _{m=0}^{\infty }x_{n_{m}}} {\displaystyle \Sigma _{m=0}^{\infty }x_{n_{m}}} (n0 < n1 < n2 < ...) converge.

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre[4] comme le lemme 1 :

Lemme 3—Si toutes les sous-séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite vérifie le critère de Cauchy pour les familles.

Notes et références

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  1. 1 2 Bourbaki, TG, III.44.
  2. ↑ Cf. théorème de Dvoretzky-Rogers.
  3. ↑ Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 228-229.
  4. ↑ (en) Christopher Heil, A Basis Theory Primer : Expanded Edition, Springer, , 534 p. (ISBN 978-0-8176-4686-8, lire en ligne), p. 97.

Voir aussi

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Articles connexes

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Bibliographie

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(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)

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