Woodall-Zahl

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form:

${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}

für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}${\displaystyle n\geq 1}. Die ersten Woodall-Zahlen sind:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519, 44040191, ... (Folge A003261 in OEIS)

Woodall-Zahlen wurden zuerst von Allan J. C. Cunningham und H. J. Woodall im Jahr 1917 beschrieben.^[1] Dabei wurden beide inspiriert von James Cullen, der eine ähnliche Zahlenfolge definierte: die Cullen-Zahlen.

Die Cullen-Zahlen sind definiert durch:

${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1,n\in \mathbb {N} }${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1,n\in \mathbb {N} }

Infolge gilt:

${\displaystyle C_{n}-W_{n}=2}${\displaystyle C_{n}-W_{n}=2}.

Aufgrund dieser Ähnlichkeit werden Woodall-Zahlen auch als Cullen-Zahlen 2. Ordnung bezeichnet.^[2]

Eine Woodall-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird als Woodall-Primzahl bezeichnet. Die ersten Exponenten ${\displaystyle n}${\displaystyle n}, für die Woodall-Zahlen solche Woodall-Primzahlen darstellen, sind:

${\displaystyle n}${\displaystyle n} = 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602, ... (Folge A002234 in OEIS)

${\displaystyle W_{n}}${\displaystyle W_{n}} = 7, 23, 383, 32212254719, 2833419889721787128217599, ... (Folge A050918 in OEIS)

Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden.

Die bisher größte Woodall-Primzahl wurde am 22. März 2018 berechnet und lautet:

${\displaystyle W_{17016602}=17016602\cdot 2^{17016602}-1=8508301\cdot 2^{17016603}-1}${\displaystyle W_{17016602}=17016602\cdot 2^{17016602}-1=8508301\cdot 2^{17016603}-1}

Diese Zahl hat 5.122.515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.^{[3] [4]}

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis ${\displaystyle n<14508061}${\displaystyle n<14508061} gibt.^[5] Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

• Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen (bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976).^{[6] [7]}
• Die Primzahl ${\displaystyle p}${\displaystyle p} teilt die Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{\frac {p+1}{2}}}${\displaystyle W_{\frac {p+1}{2}}}, wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=+1}${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=+1} ist.^[6]
• Die Primzahl ${\displaystyle p}${\displaystyle p} teilt die Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{\frac {3p-1}{2}}}${\displaystyle W_{\frac {3p-1}{2}}}, wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=-1}${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=-1} ist.^[6]
• Es gilt:

${\displaystyle W_{4}=4\cdot 2^{4}-1=63}${\displaystyle W_{4}=4\cdot 2^{4}-1=63} und ${\displaystyle W_{5}=5\cdot 2^{5}-1=159}${\displaystyle W_{5}=5\cdot 2^{5}-1=159} sind beide durch drei teilbar.

Jede weitere sechste Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{n}}${\displaystyle W_{n}} ist ebenfalls durch ${\displaystyle 3}${\displaystyle 3} teilbar. Somit ist ${\displaystyle W_{n}}${\displaystyle W_{n}} nur dann möglicherweise eine Woodall-Primzahl, wenn der Index ${\displaystyle n}${\displaystyle n} nicht ein Vielfaches von 4 oder 5 (modulo 6) ist.

• Die einzigen beiden bekannten Primzahlen, die Woodall-Primzahlen und gleichzeitig Mersenne-Primzahlen darstellen, sind (Stand: Mai 2019):

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrl}W_{2}=&M_{3}=&2\cdot 2^{2}-1=&2^{3}-1=&7\\W_{512}=&M_{521}=&512\cdot 2^{512}-1=&2^{521}-1\approx &6{,}8648\cdot 10^{156}\end{array}}}${\displaystyle {\begin{array}{rrrrl}W_{2}=&M_{3}=&2\cdot 2^{2}-1=&2^{3}-1=&7\\W_{512}=&M_{521}=&512\cdot 2^{512}-1=&2^{521}-1\approx &6{,}8648\cdot 10^{156}\end{array}}}

Zahlen der Form ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}${\displaystyle n\cdot b^{n}-1} mit ${\displaystyle n+2>b}${\displaystyle n+2>b} bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen.

Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl.

Die Bedingung ${\displaystyle n+2>b}${\displaystyle n+2>b} ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl ${\displaystyle p}${\displaystyle p} eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil ${\displaystyle p=1\cdot (p+1)^{1}-1}${\displaystyle p=1\cdot (p+1)^{1}-1} wäre.^[6]

Die kleinsten ${\displaystyle n}${\displaystyle n}, für die ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}${\displaystyle n\cdot b^{n}-1} prim ist, sind für aufsteigendes ${\displaystyle b}${\displaystyle b} = 1, 2, ...:

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, ... (Folge A240235 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von ${\displaystyle b}${\displaystyle b} zwischen 1 und 30.^[8] Diese ${\displaystyle n}${\displaystyle n} wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die Bedingung ${\displaystyle n+2>b}${\displaystyle n+2>b} nicht gilt, aber trotzdem die Zahl ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}${\displaystyle n\cdot b^{n}-1} prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist ${\displaystyle 5287180\cdot 9^{5287180}-1=5287180\cdot 3^{10574360}-1}${\displaystyle 5287180\cdot 9^{5287180}-1=5287180\cdot 3^{10574360}-1}. Sie hat 5.045.259 Stellen und wurde am 3. November 2024 von Ryan Propper und Serge Batalov entdeckt.^{[9] [10]}

• Cullen-Zahl

• J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

• Cullen prime
• Woodall prime

1. ↑ A. J. C Cunningham, H. J. Woodall: Factorisation of ${\displaystyle Q=(2^{q}\mp q)}${\displaystyle Q=(2^{q}\mp q)} and ${\displaystyle (q\cdot {2^{q}}\mp 1)}${\displaystyle (q\cdot {2^{q}}\mp 1)}. In: Messenger of Mathematics. 1917, S. 1 von 151. 
2. ↑ Eric W. Weisstein: Woodall Number. Abgerufen am 25. Mai 2019 (englisch). 
3. ↑ PrimeGrid’s Woodall Prime Search, 17016602·2^17016602 - 1. (PDF) PrimeGrid, abgerufen am 26. April 2018. 
4. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Woodall Primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018. 
5. ↑ Weisstein, Eric W.: Woodall Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016. 
6. ↑ ^{a b c d} Chris K.Caldwell: Woodall Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016. 
7. ↑ Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. In: RI: American Mathematical Society. 2003, ISBN 0-8218-3387-1, S. 94. 
8. ↑ Liste der verallgemeinerten Woodall-Primzahlen mit Basis 3 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016. 
9. ↑ Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 5287180·3^10574360 - 1. Prime Pages, abgerufen am 30. Dezember 2024. 
10. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Woodall. Prime Pages, abgerufen am 30. Dezember 2024. 

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