Wesentlich surjektiver Funktor

Ein wesentlich surjektiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Ein Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} zwischen zwei Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} heißt wesentlich surjektiv (oder dicht), falls zu jedem Objekt ${\displaystyle D}${\displaystyle D} in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} ein Objekt ${\displaystyle C}${\displaystyle C} in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} existiert, so dass ${\displaystyle F(C)}${\displaystyle F(C)} isomorph ist zu ${\displaystyle D}${\displaystyle D}.^[1]

• Jede Äquivalenz von Kategorien liefert einen wesentlich surjektiven Funktor, denn ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist.^[2]
• Umgekehrt lässt sich die wesentliche Surjektivität auch durch Äquivalenz charakterisieren: Ein Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn die vom Bild der Objekte in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} erzeugte volle Unterkategorie von ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} äquivalent zu ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} ist.
• Ist ${\displaystyle K}${\displaystyle K} ein Körper, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} die Kategorie der Vektorräume ${\displaystyle K^{n}}${\displaystyle K^{n}} (im Sinne der ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-fachen direkten Summe), ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Kardinalzahl, und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} die Kategorie aller ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-Vektorräume, so ist die Einbettung ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} wesentlich surjektiv, denn nach Ergebnissen der linearen Algebra ist jeder ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-Vektorraum isomorph zu einem ${\displaystyle K^{n}}${\displaystyle K^{n}}.
• Ist ${\displaystyle K}${\displaystyle K} der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} die Kategorie der Hilberträume über ${\displaystyle K}${\displaystyle K} mit den isometrischen Isomorphismen und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} die Kategorie der Mengen mit den bijektiven Abbildungen, so ist nach dem Satz von Fischer-Riesz der Funktor ${\displaystyle \ell ^{2}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}${\displaystyle \ell ^{2}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} wesentlich surjektiv.

1. ↑ Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Seite 130
2. ↑ Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Satz 7.5

• Kategorientheorie