Korrelationsmatrix

In der Stochastik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die die Korrelation zwischen den Komponenten eines Zufallsvektors erfasst. Die Korrelationsmatrix kann aus der Varianz-Kovarianzmatrix erhalten werden und umgekehrt.

Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})^{\top }}${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})^{\top }} enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten.^[1] Analog zur Varianz-Kovarianzmatrix ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }${\displaystyle \mathbf {\Sigma } } ist die Korrelationsmatrix definiert als^[2]

${\displaystyle \mathbf {P} \equiv \operatorname {Corr} (\mathbf {X} )={\begin{pmatrix}\rho _{11}&\rho _{12}&\cdots &\rho _{1n}\\\\\rho _{21}&\rho _{22}&\cdots &\rho _{2n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{n1}&\rho _{n2}&\cdots &\rho _{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\rho _{12}&\cdots &\rho _{1n}\\\\\rho _{21}&1&\cdots &\rho _{2n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{n1}&\rho _{n2}&\cdots &1\end{pmatrix}}}${\displaystyle \mathbf {P} \equiv \operatorname {Corr} (\mathbf {X} )={\begin{pmatrix}\rho _{11}&\rho _{12}&\cdots &\rho _{1n}\\\\\rho _{21}&\rho _{22}&\cdots &\rho _{2n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{n1}&\rho _{n2}&\cdots &\rho _{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\rho _{12}&\cdots &\rho _{1n}\\\\\rho _{21}&1&\cdots &\rho _{2n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{n1}&\rho _{n2}&\cdots &1\end{pmatrix}}},

wobei ${\displaystyle \rho _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})/{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i})\operatorname {Var} (X_{j})}}=\sigma _{ij}/\sigma _{i}\sigma _{j}}${\displaystyle \rho _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})/{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i})\operatorname {Var} (X_{j})}}=\sigma _{ij}/\sigma _{i}\sigma _{j}} der Korrelationskoeffizient zwischen ${\displaystyle X_{i}}${\displaystyle X_{i}} und ${\displaystyle X_{j}}${\displaystyle X_{j}} ist.

Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von ${\displaystyle \mathbf {P} }${\displaystyle \mathbf {P} } die Korrelation von ${\displaystyle X_{2}}${\displaystyle X_{2}} mit jeder anderen ${\displaystyle X}${\displaystyle X}-Variablen. Die Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit wird als ${\displaystyle \mathbf {P} _{\rho }}${\displaystyle \mathbf {P} _{\rho }} bzw. ${\displaystyle \mathbf {P} }${\displaystyle \mathbf {P} } und die Stichproben-Korrelationsmatrix als ${\displaystyle \mathbf {R} }${\displaystyle \mathbf {R} } bezeichnet. Wenn man die Diagonalmatrix ${\displaystyle \mathbf {D} =\left(\operatorname {diag} ({\boldsymbol {\Sigma }})\right)^{1/2}=\operatorname {diag} (\sigma _{1},\sigma _{2},\dotsc ,\sigma _{n})}${\displaystyle \mathbf {D} =\left(\operatorname {diag} ({\boldsymbol {\Sigma }})\right)^{1/2}=\operatorname {diag} (\sigma _{1},\sigma _{2},\dotsc ,\sigma _{n})} definiert, dann erhält man ${\displaystyle \mathbf {P} }${\displaystyle \mathbf {P} } durch ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} und umgekehrt:

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {D} ^{-1},円{\boldsymbol {\Sigma }},円\mathbf {D} ^{-1}}${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {D} ^{-1},円{\boldsymbol {\Sigma }},円\mathbf {D} ^{-1}}

oder äquivalent

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=\mathbf {D} ,円\mathbf {P} ,円\mathbf {D} }${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=\mathbf {D} ,円\mathbf {P} ,円\mathbf {D} }.

• Sind alle Komponenten des Zufallsvektors ${\displaystyle \mathbf {X} }${\displaystyle \mathbf {X} } linear unabhängig, so ist ${\displaystyle \mathbf {R} }${\displaystyle \mathbf {R} } positiv definit.
• Auf der Hauptdiagonalen wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins.
• Bei Stichprobenziehung aus einer mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben-Korrelationsmatrix ${\displaystyle \mathbf {R} }${\displaystyle \mathbf {R} } Maximum-Likelihood-Schätzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit ${\displaystyle \mathbf {P} }${\displaystyle \mathbf {P} }.^[3]

Eine Schätzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}}${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}} erhält man, indem man die Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit ${\displaystyle \rho _{ij}}${\displaystyle \rho _{ij}} durch die empirischen Korrelationskoeffizienten (ihre empirischen Gegenstücke) ${\displaystyle r_{ij}}${\displaystyle r_{ij}} ersetzt. Dies führt zur Stichproben-Korrelationsmatrix ${\displaystyle \mathbf {R} }${\displaystyle \mathbf {R} }

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ={\widehat {\mathbf {P} }}={\widehat {\operatorname {Corr} (\mathbf {X} )}}&={\begin{pmatrix}1&r_{12}&\cdots &r_{1k}\\\\r_{21}&1&\cdots &r_{2k}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\r_{k1}&r_{k2}&\cdots &1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ={\widehat {\mathbf {P} }}={\widehat {\operatorname {Corr} (\mathbf {X} )}}&={\begin{pmatrix}1&r_{12}&\cdots &r_{1k}\\\\r_{21}&1&\cdots &r_{2k}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\r_{k1}&r_{k2}&\cdots &1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}.

• Kovarianzmatrix

1. ↑ Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 646 ff.
2. ↑ Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics. John Wiley & Sons, 2008, S. 77.
3. ↑ Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics. John Wiley & Sons, 2008, S. 247.

• Matrix
• Deskriptive Statistik