Delta-Distribution

Die Delta-Distribution (auch δ-Funktion; Dirac-Funktion, -Impuls, -Puls, -Stoß (nach Paul Dirac), Stoßfunktion, Nadelimpuls, Impulsfunktion oder Einheitsimpulsfunktion genannt) als mathematischer Begriff ist eine spezielle singuläre Distribution mit kompaktem Träger. Ihr übliches Formelsymbol ist δ (kleines Delta).

Die Delta-Distribution ist eine stetige lineare Abbildung von einem Funktionenraum der Testfunktionen ${\displaystyle {\mathcal {E}}}${\displaystyle {\mathcal {E}}} in den zugrunde liegenden Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} }:

${\displaystyle \delta \colon ,円{\mathcal {E}}\to \mathbb {K} ,,円,円f\mapsto f(0)}${\displaystyle \delta \colon ,円{\mathcal {E}}\to \mathbb {K} ,,円,円f\mapsto f(0)}.

Der Testfunktionenraum für die Delta-Distribution ist der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )} mit ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} bzw. ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}} offen und ${\displaystyle 0\in \Omega }${\displaystyle 0\in \Omega }. Somit entspricht ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} } entweder den reellen ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } oder den komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} }.

Die Delta-Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} eine reelle bzw. komplexe Zahl ${\displaystyle \delta (f)=f(0)}${\displaystyle \delta (f)=f(0)} zu, nämlich die Auswertung der Funktion an der Stelle 0. Der Wert, den die Delta-Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {E}}}${\displaystyle f\in {\mathcal {E}}} liefert, schreibt man (mit der Notation der dualen Paarung) auch als

${\displaystyle \delta (f)=\langle \delta ,f\rangle =f(0)}${\displaystyle \delta (f)=\langle \delta ,f\rangle =f(0)}

beziehungsweise auch als

${\displaystyle \delta (f)=\int _{\Omega }\delta (x),円f(x),円\mathrm {d} x=f(0),円.}${\displaystyle \delta (f)=\int _{\Omega }\delta (x),円f(x),円\mathrm {d} x=f(0),円.}

Diese Schreibweise ist eigentlich nicht richtig und nur symbolisch zu verstehen, weil die Delta-Distribution eine singuläre Distribution ist, das heißt, sie lässt sich nicht durch eine lokal integrierbare Funktion in obiger Weise darstellen. Es gibt also keine Funktion ${\displaystyle \delta }${\displaystyle \delta }, welche der obigen Definition genügt. Insbesondere bei technisch orientierten Anwendungen des Konzepts sind dennoch mathematisch nicht präzise Bezeichnungen wie „Delta-Funktion", „Dirac-Funktion" oder „Impulsfunktion" gebräuchlich. Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich nicht um ein Riemann-Integral oder Lebesgue-Integral bzgl. des Lebesgue-Maßes, sondern um die Auswertung des Funktionals ${\displaystyle \delta }${\displaystyle \delta } an der Stelle ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, also ${\displaystyle \delta (f)=f(0)}${\displaystyle \delta (f)=f(0)}, handelt.

Das durch ein positives Radon-Maß ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } erzeugte Funktional ${\displaystyle \textstyle \langle \mu ,f\rangle =\int f(x),円\mathrm {d} \mu }${\displaystyle \textstyle \langle \mu ,f\rangle =\int f(x),円\mathrm {d} \mu } (für ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}}${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}}) ist eine Distribution. Die Delta-Distribution wird von folgendem Radon-Maß – man spricht hier speziell vom Diracmaß – erzeugt:

${\displaystyle \delta (A)={\begin{cases}1,\ &{\text{ falls }}0\in A,\0,円\ &{\text{ sonst,}}\end{cases}}}${\displaystyle \delta (A)={\begin{cases}1,\ &{\text{ falls }}0\in A,\0,円\ &{\text{ sonst,}}\end{cases}}}

wobei ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }. Ein Maß lässt sich physikalisch interpretieren, z. B. als Massenverteilung oder Ladungsverteilung des Raums. Dann entspricht die Delta-Distribution einem Massenpunkt der Masse 1 oder einer Punktladung der Ladung 1 im Ursprung.

${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int f(x),円\mathrm {d} \delta =f(0).}${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int f(x),円\mathrm {d} \delta =f(0).}

Befinden sich an den Stellen ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} }${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} } Punktladungen ${\displaystyle q_{i}}${\displaystyle q_{i}}, wobei die Summe über alle Ladungen endlich bleibt, dann wird für ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }${\displaystyle A\subset \mathbb {R} } ein Maß auf der ${\displaystyle \sigma }${\displaystyle \sigma }-Algebra aller Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } definiert, das der Ladungsverteilung entspricht (${\displaystyle i_{A}}${\displaystyle i_{A}} durchlaufe alle ${\displaystyle i}${\displaystyle i} mit ${\displaystyle x_{i}\in A}${\displaystyle x_{i}\in A}):

${\displaystyle \rho (A):=\sum _{i_{A}}q_{i}.}${\displaystyle \rho (A):=\sum _{i_{A}}q_{i}.}

Für dieses Maß ist dann die zugehörige Distribution:

${\displaystyle \langle \rho ,f\rangle =\int f(x),円\mathrm {d} \rho =\sum _{i_{A}}f(x_{i})q_{i}.}${\displaystyle \langle \rho ,f\rangle =\int f(x),円\mathrm {d} \rho =\sum _{i_{A}}f(x_{i})q_{i}.}

Man kann die Delta-Distribution wie alle anderen Distributionen auch als Grenzwert einer Funktionenfolge darstellen. Die Menge der Dirac-Folgen ist die wichtigste Klasse von Funktionenfolgen, mit denen die Delta-Distribution dargestellt werden kann. Jedoch gibt es noch weitere Folgen, die gegen die Delta-Distribution konvergieren.

Eine Folge ${\displaystyle (\delta _{k})_{k\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\delta _{k})_{k\in \mathbb {N} }} integrierbarer Funktionen ${\displaystyle \delta _{k}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}${\displaystyle \delta _{k}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} wird Dirac-Folge genannt, falls

1. für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} und alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }${\displaystyle k\in \mathbb {N} } die Bedingung ${\displaystyle \delta _{k}(x)\geq 0,,円}${\displaystyle \delta _{k}(x)\geq 0,,円}
2. für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }${\displaystyle k\in \mathbb {N} } die Identität ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x),円\mathrm {d} x=1}${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x),円\mathrm {d} x=1} und
3. für alle ${\displaystyle \epsilon >0}${\displaystyle \epsilon >0} die Gleichheit ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\epsilon }(0)}\delta _{k}(x)\mathrm {d} x=0}${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\epsilon }(0)}\delta _{k}(x)\mathrm {d} x=0}

gilt. Manchmal versteht man unter einer Dirac-Folge auch nur einen Spezialfall der hier definierten Dirac-Folge. Wählt man nämlich eine Funktion ${\displaystyle \phi \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}${\displaystyle \phi \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} mit ${\displaystyle \phi (x)\geq 0}${\displaystyle \phi (x)\geq 0} für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} und ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\mathrm {d} x=1}${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\mathrm {d} x=1} und setzt ${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\phi ({\tfrac {x}{\epsilon }})}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\phi ({\tfrac {x}{\epsilon }})} für ${\displaystyle \epsilon >0}${\displaystyle \epsilon >0}, dann erfüllt diese Funktionenschar die Eigenschaften 1 und 2. Betrachtet man den Grenzwert ${\displaystyle \epsilon \to 0}${\displaystyle \epsilon \to 0} anstatt ${\displaystyle k\to \infty }${\displaystyle k\to \infty }, so ist auch Eigenschaft 3 erfüllt. Daher nennt man die Funktionenschar ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}${\displaystyle \delta _{\epsilon }} ebenfalls Dirac-Folge.^[1]

Die Funktion ${\displaystyle \delta _{k}}${\displaystyle \delta _{k}} kann man nun mit einer regulären Distribution

${\displaystyle \delta _{k}(f):=\langle \delta _{k},f\rangle :=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x),円f(x),円\mathrm {d} x}${\displaystyle \delta _{k}(f):=\langle \delta _{k},f\rangle :=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x),円f(x),円\mathrm {d} x}

identifizieren. Nur im Limes ${\displaystyle k\to \infty }${\displaystyle k\to \infty } erhält man das ungewöhnliche Verhalten der Delta-Distribution

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\delta _{k}(f)=\lim _{k\to \infty }\langle \delta _{k},f\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\delta _{k}(f)=\lim _{k\to \infty }\langle \delta _{k},f\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }

wobei zu beachten ist, dass die Limes-Bildung nicht unter dem Integral, sondern davor erfolgt. Würde man den Limes unter das Integral ziehen, so wäre ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}${\displaystyle \delta _{\epsilon }} fast überall Null, nur nicht bei ${\displaystyle x=0}${\displaystyle x=0}. Ein einzelner Punkt hat jedoch das Lebesgue-Maß Null und das ganze Integral würde verschwinden.

Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, die über der x-Achse eine Fläche mit Größe 1 Flächeneinheit einschließt. Man lässt nun die Funktion immer schmaler und dafür immer höher werden – die Fläche darunter muss konstant 1 bleiben. Es existieren auch mehrdimensionale Dirac-Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen „Keulen" mit dem Volumen 1.

Im Folgenden werden verschiedene Approximationen (Dirac-Folgen) ${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)} angegeben, zunächst stetig differenzierbare:

• Glockenfunktionen (Normalverteilungen)

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \epsilon }}},円\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\epsilon }}\right)}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \epsilon }}},円\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\epsilon }}\right)}

Die angegebenen Funktionen besitzen ein sehr schmales und sehr hohes Maximum bei ${\displaystyle x=0}${\displaystyle x=0}, die Breite ist etwa ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}\to 0}${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}\to 0} und die Höhe etwa ${\displaystyle 1/{\sqrt {\epsilon }}\to \infty }${\displaystyle 1/{\sqrt {\epsilon }}\to \infty }. Für alle ${\displaystyle \epsilon }${\displaystyle \epsilon } ist der Flächeninhalt unter der Funktion 1.

• Lorentzkurven

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}}

• Fresnel-Darstellung

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {i} \pi \epsilon }}},円\exp \left({\frac {\mathrm {i} x^{2}}{\epsilon }}\right)}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {i} \pi \epsilon }}},円\exp \left({\frac {\mathrm {i} x^{2}}{\epsilon }}\right)}

die man sich vorstellen kann als eine Linie, die auf einen Zylinder gewickelt ist, und deren Wicklungen durch das ${\displaystyle x^{2}}${\displaystyle x^{2}} immer enger werden; die Grundfläche (in ${\displaystyle x}${\displaystyle x}-${\displaystyle y}${\displaystyle y}-Ausrichtung) des Zylinders wird aus dem Imaginär- und Realteil der Funktion gebildet, die Funktion entwickelt sich dann in ${\displaystyle z}${\displaystyle z}-Richtung.

Es sind aber auch Approximationen möglich, die nur stückweise stetig differenzierbar sind:

• Rechteckfunktion

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {\operatorname {rect} (x/\epsilon )}{\epsilon }}={\begin{cases}{\frac {1}{\epsilon }}&\ |x|\leq {\frac {\epsilon }{2}}\0円&\ {\text{sonst}}\end{cases}}}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {\operatorname {rect} (x/\epsilon )}{\epsilon }}={\begin{cases}{\frac {1}{\epsilon }}&\ |x|\leq {\frac {\epsilon }{2}}\0円&\ {\text{sonst}}\end{cases}}}

• Dreiecksfunktion

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {\epsilon +x}{\epsilon ^{2}}}&\ -\epsilon \leq x\leq 0\\{\frac {\epsilon -x}{\epsilon ^{2}}}&\ 0<x\leq \epsilon \0円&\ {\text{sonst}}\end{cases}}}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {\epsilon +x}{\epsilon ^{2}}}&\ -\epsilon \leq x\leq 0\\{\frac {\epsilon -x}{\epsilon ^{2}}}&\ 0<x\leq \epsilon \0円&\ {\text{sonst}}\end{cases}}}

• Exponentialfunktion um Ursprung abfallend

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2\epsilon }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\epsilon }}\right)}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2\epsilon }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\epsilon }}\right)}

• Die Funktionenfolge der Sinc-Funktionen

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}
ist keine Dirac-Folge, da ihre Folgenglieder auch negative Werte annehmen. Betrachtet man allerdings den Ausdruck

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\phi (x)\mathrm {d} x}${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\phi (x)\mathrm {d} x}

so konvergiert für alle ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}}${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}} diese Folge im distributionellen Sinn gegen die Delta-Distribution.

• Definierende Eigenschaft der Delta-Distribution: Faltungseigenschaft, auch Ausblendeigenschaft^[2] , Siebeigenschaft genannt

${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x),円f(x),円\mathrm {d} x=f(0)}${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x),円f(x),円\mathrm {d} x=f(0)}

bzw. mit den Eigenschaften Translation und Skalierung (siehe unten) folgt:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x),円\delta (x-a),円\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }f(x),円\delta (a-x),円\mathrm {d} x=f(a),}${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x),円\delta (x-a),円\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }f(x),円\delta (a-x),円\mathrm {d} x=f(a),}

speziell für den Fall der konstanten Funktion 1:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a),円\mathrm {d} x=1}${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a),円\mathrm {d} x=1}

• Linearität:

${\displaystyle \langle \delta ,f+g\rangle =\langle \delta ,f\rangle +\langle \delta ,g\rangle =f(0)+g(0)}${\displaystyle \langle \delta ,f+g\rangle =\langle \delta ,f\rangle +\langle \delta ,g\rangle =f(0)+g(0)}

• Translation:

${\displaystyle \langle \delta (\cdot -a),f\rangle =\langle \delta ,f(\cdot +a)\rangle =f(a)}${\displaystyle \langle \delta (\cdot -a),f\rangle =\langle \delta ,f(\cdot +a)\rangle =f(a)}

für ${\displaystyle \delta (\cdot -a)}${\displaystyle \delta (\cdot -a)} ist auch die Bezeichnung ${\displaystyle \delta _{a}}${\displaystyle \delta _{a}} gebräuchlich.

• Skalierung:

${\displaystyle \langle \delta (a\cdot ),f\rangle ={\frac {1}{|a|}}\langle \delta ,f({\tfrac {\cdot }{a}})\rangle ={\frac {1}{|a|}}f(0)}${\displaystyle \langle \delta (a\cdot ),f\rangle ={\frac {1}{|a|}}\langle \delta ,f({\tfrac {\cdot }{a}})\rangle ={\frac {1}{|a|}}f(0)}

und

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)}${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)}

das heißt die Delta-Distribution ist positiv homogen vom Grad −1.

• Dimension

Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw. Maßeinheit der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments. Hat ${\displaystyle x}${\displaystyle x} beispielsweise die Dimension einer Länge, so hat ${\displaystyle \delta (x)}${\displaystyle \delta (x)} die Dimension (1/Länge).

• Hintereinanderausführung:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi (x),円\delta (g(x)),円\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x){\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}},円\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\phi (x_{i})}{|g'(x_{i})|}},}${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi (x),円\delta (g(x)),円\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x){\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}},円\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\phi (x_{i})}{|g'(x_{i})|}},}

${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g^{\prime }(x_{i})|}}}${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g^{\prime }(x_{i})|}}}

wobei ${\displaystyle x_{i}}${\displaystyle x_{i}} die einfachen Nullstellen von ${\displaystyle g(x)}${\displaystyle g(x)} sind (sofern ${\displaystyle g(x)}${\displaystyle g(x)} nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat). Damit folgt als ein Spezialfall die Rechenregel

${\displaystyle \delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}[\delta (x-\alpha )+\delta (x+\alpha )].}${\displaystyle \delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}[\delta (x-\alpha )+\delta (x+\alpha )].}

Die Singularität der Delta-Distribution lässt sich mit einem Widerspruchsbeweis zeigen:

Angenommen ${\displaystyle \delta }${\displaystyle \delta } wäre regulär, dann gäbe es eine lokal integrierbare Funktion ${\displaystyle \delta (x)\in L_{\text{lok}}^{1}}${\displaystyle \delta (x)\in L_{\text{lok}}^{1}}, also eine Funktion, die über jedes kompakte Intervall ${\displaystyle [a,b]}${\displaystyle [a,b]} bzgl. des Lebesgue-Maßes integrierbar ist

${\displaystyle \int _{a}^{b}|\delta (x)|\mathrm {d} x<\infty }${\displaystyle \int _{a}^{b}|\delta (x)|\mathrm {d} x<\infty }

so dass für alle Testfunktionen ${\displaystyle f(x)}${\displaystyle f(x)} gilt:

${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x),円f(x),円\mathrm {d} x=f(0).}${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x),円f(x),円\mathrm {d} x=f(0).}

Insbesondere muss dies für folgende Testfunktion ${\displaystyle \phi _{b}(x)}${\displaystyle \phi _{b}(x)} mit kompaktem Träger ${\displaystyle [-b,b]}${\displaystyle [-b,b]} gelten:

${\displaystyle \phi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\Big (}{\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}{\Big )}&|x|<b\0円&|x|\geq b.\end{cases}}}${\displaystyle \phi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\Big (}{\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}{\Big )}&|x|<b\0円&|x|\geq b.\end{cases}}}

Die Wirkung der Delta-Distribution auf diese ist:

${\displaystyle \langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\phi _{b}(0)=\exp(-1)=\mathrm {const} _{,円b}.}${\displaystyle \langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\phi _{b}(0)=\exp(-1)=\mathrm {const} _{,円b}.}

Mit der angenommenen regulären Distribution

${\displaystyle \langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x),円\phi _{b}(x),円\mathrm {d} x=\int _{-b}^{b}\delta (x),円\phi _{b}(x),円\mathrm {d} x}${\displaystyle \langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x),円\phi _{b}(x),円\mathrm {d} x=\int _{-b}^{b}\delta (x),円\phi _{b}(x),円\mathrm {d} x}

lässt sich folgende Abschätzung durchführen:

${\displaystyle \phi _{b}(0)=|\langle \delta ,\phi _{b}\rangle |=\left|\int _{-b}^{b}\delta (x),円\phi _{b}(x),円\mathrm {d} x\right|\leq \underbrace {\|\phi _{b}(x)\|_{\infty }} _{\phi _{b}(0)},円\int _{-b}^{b}|\delta (x)|,円\mathrm {d} x{\underset {(b<b_{c})}{<}}\phi _{b}(0).}${\displaystyle \phi _{b}(0)=|\langle \delta ,\phi _{b}\rangle |=\left|\int _{-b}^{b}\delta (x),円\phi _{b}(x),円\mathrm {d} x\right|\leq \underbrace {\|\phi _{b}(x)\|_{\infty }} _{\phi _{b}(0)},円\int _{-b}^{b}|\delta (x)|,円\mathrm {d} x{\underset {(b<b_{c})}{<}}\phi _{b}(0).}

Weil ${\displaystyle \delta (x)\in L_{lok}^{1}}${\displaystyle \delta (x)\in L_{lok}^{1}} wird das Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{-b}^{b}|\delta (x)|,円\mathrm {d} x}${\displaystyle \textstyle \int _{-b}^{b}|\delta (x)|,円\mathrm {d} x} für ${\displaystyle b<b_{c}}${\displaystyle b<b_{c}} (wobei ${\displaystyle b_{c}}${\displaystyle b_{c}} ein von der Funktion ${\displaystyle \delta (x)}${\displaystyle \delta (x)} abhängiger kritischer Wert ist) kleiner 1 (und konvergiert gegen 0 für ${\displaystyle b}${\displaystyle b} gegen 0). Man erhält ${\displaystyle \phi _{b}(0)<\phi _{b}(0)}${\displaystyle \phi _{b}(0)<\phi _{b}(0)}, also einen Widerspruch; somit ist die Delta-Distribution nicht durch eine lokal integrierbare Funktion darstellbar. Der Widerspruch ergibt sich, weil die Menge {0} für das Lebesgue-Maß vernachlässigbar ist, nicht aber für das Dirac-Maß.

Die Delta-Distribution kann wie jede Distribution beliebig oft distributiv differenziert werden:

${\displaystyle \langle \delta ',f\rangle =-\langle \delta ,f'\rangle =-f'(0).}${\displaystyle \langle \delta ',f\rangle =-\langle \delta ,f'\rangle =-f'(0).}

Dies gilt auch für die ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-te distributive Ableitung:

${\displaystyle \langle \delta ^{(n)},f\rangle =(-1)^{n}\langle \delta ,f^{(n)}\rangle =(-1)^{n}f^{(n)}(0).}${\displaystyle \langle \delta ^{(n)},f\rangle =(-1)^{n}\langle \delta ,f^{(n)}\rangle =(-1)^{n}f^{(n)}(0).}

Die Ableitungen der regulären Distributionen ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}${\displaystyle \delta _{\epsilon }} können mittels partieller Integration berechnet werden (hier exemplarisch für erste Ableitung, analog für höhere)

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }^{\prime }(x),円f(x),円\mathrm {d} x\\&=\underbrace {\left[\delta _{\epsilon }(x),円f(x)\right]_{-\infty }^{\infty }} _{=0}-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x),円f^{\prime }(x),円\mathrm {d} x\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x),円f^{\prime }(x),円\mathrm {d} x\\&=-\langle \delta _{\epsilon },f^{\prime }\rangle \end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }^{\prime }(x),円f(x),円\mathrm {d} x\\&=\underbrace {\left[\delta _{\epsilon }(x),円f(x)\right]_{-\infty }^{\infty }} _{=0}-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x),円f^{\prime }(x),円\mathrm {d} x\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x),円f^{\prime }(x),円\mathrm {d} x\\&=-\langle \delta _{\epsilon },f^{\prime }\rangle \end{aligned}}}

und ergeben im Limes ${\displaystyle \epsilon \to 0}${\displaystyle \epsilon \to 0} das Verhalten der distributiven Ableitung:

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle =-f^{\prime }(0)=\langle \delta ^{\prime },f\rangle .}${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle =-f^{\prime }(0)=\langle \delta ^{\prime },f\rangle .}

Die Heaviside-Funktion ${\displaystyle \Theta (x)}${\displaystyle \Theta (x)} ist nicht stetig differenzierbar, aber die distributive Ableitung existiert, diese ist nämlich die Delta-Distribution:

${\displaystyle \langle \Theta ',f\rangle =-\langle \Theta ,f'\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }\Theta (x),円f'(x),円\mathrm {d} x=-\int _{0}^{\infty }f'(x),円\mathrm {d} x=-\underbrace {f(\infty )} _{=0}+f(0)=\langle \delta ,f\rangle .}${\displaystyle \langle \Theta ',f\rangle =-\langle \Theta ,f'\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }\Theta (x),円f'(x),円\mathrm {d} x=-\int _{0}^{\infty }f'(x),円\mathrm {d} x=-\underbrace {f(\infty )} _{=0}+f(0)=\langle \delta ,f\rangle .}

Da die Heaviside-Distribution keinen kompakten Träger hat, müssen hier die Testfunktionen beliebig oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger sein ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }\cong {\mathcal {D}}}${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }\cong {\mathcal {D}}}, das heißt ${\displaystyle f}${\displaystyle f} muss im Unendlichen verschwinden.

Da die Delta-Distribution einen kompakten Träger hat, ist es möglich, die Fourier-Laplace-Transformation dieser zu bilden. Für diese gilt

${\displaystyle {\hat {\delta }}=1,円.}${\displaystyle {\hat {\delta }}=1,円.}

Die Fourier-Laplace-Transformation ist ein Spezialfall der Fourier-Transformation und somit gilt auch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )(\phi )=\delta ({\mathcal {F}}(\phi ))=\delta \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\phi (x)\mathrm {d} x\right)=\langle 1,\phi \rangle ,円.}${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )(\phi )=\delta ({\mathcal {F}}(\phi ))=\delta \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\phi (x)\mathrm {d} x\right)=\langle 1,\phi \rangle ,円.}

Es gibt auch die Konvention, den Faktor ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}} mit der Fourier-Transformation zu multiplizieren. In dem Fall ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}} ebenfalls das Ergebnis der Fourier-Transformation der Delta-Distribution. Anschaulich bedeutet das Resultat der Transformation, dass in der Delta-Distribution alle Frequenzen enthalten sind, und zwar mit gleicher Stärke. Die Darstellung ${\displaystyle \delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}(1)}${\displaystyle \delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}(1)} (beziehungsweise ${\displaystyle \delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}})}${\displaystyle \delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}})} bei der anderen Konvention für den Vorfaktor) ist eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution.

Die Laplace-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {L}}}${\displaystyle {\mathcal {L}}} der Delta-Distribution erhält man als Spezialfall der Fourier-Laplace-Transformation. Es gilt nämlich auch hier

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta )=1,円.}${\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta )=1,円.}

Im Gegensatz zur Fourier-Transformation gibt es hier keine anderen Konventionen.

Oftmals werden die Fourier beziehungsweise die Laplace-Transformation durch die gewöhnliche Integralschreibweise dargestellt. Jedoch sind diese Darstellungen

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi x},円\delta (x),円\mathrm {d} x}${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi x},円\delta (x),円\mathrm {d} x}

für die Fourier-Transformation beziehungsweise

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta )(\xi )=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\xi x},円\delta (x),円\mathrm {d} x}${\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta )(\xi )=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\xi x},円\delta (x),円\mathrm {d} x}

für die Laplace-Transformation nur symbolisch zu verstehen und mathematisch nicht definiert.

Es ist ebenfalls möglich die Fourier-Transformation beziehungsweise die Laplace-Transformation für die um ${\displaystyle a>0}${\displaystyle a>0} verschobene Delta-Distribution ${\displaystyle \delta _{a}}${\displaystyle \delta _{a}} zu berechnen. Es gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi a}\\{\mathcal {L}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\xi a}.\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi a}\\{\mathcal {L}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\xi a}.\end{aligned}}}

Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der Impulsantwort in der Akustik (in anderen Sparten der Physik spricht man auch von einer ${\displaystyle \delta }${\displaystyle \delta }-Größe, wenn man meint, dass die betreffende Größe einer schmalst-möglichen Verteilung genügt). So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des „Echos", also der Systemantwort) ermittelt werden.

Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:

• Hochspannungstechnik ca. 1–100 ns Halbwertsbreite
• Hochfrequenztechnik ca. 10–100 ps Halbwertsbreite
• Pulslasertechnik ca. 10–100 fs Halbwertsbreite

Eine wichtige Anwendung der Delta-Distribution ist die Lösung inhomogener linearer gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen mit der Methode der Greenschen Funktion.

Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen ${\displaystyle {\mathcal {E}}}${\displaystyle {\mathcal {E}}} gleich ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}, der Raum der beliebig oft total differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle f\colon ,円\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }${\displaystyle f\colon ,円\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }.

Die Delta-Distribution hat auf die Testfunktion ${\displaystyle f\colon ,円\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }${\displaystyle f\colon ,円\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } die folgende Wirkung:

${\displaystyle \delta \colon ,円{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} ,,円\ f\mapsto f({\vec {0}})}${\displaystyle \delta \colon ,円{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} ,,円\ f\mapsto f({\vec {0}})}

In der informellen Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung:

${\displaystyle \int f({\vec {x}}),円\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}}),円\mathrm {d} ^{n}x=\int f({\vec {x}}),円\delta ({\vec {a}}-{\vec {x}}),円\mathrm {d} ^{n}x=f({\vec {a}})}${\displaystyle \int f({\vec {x}}),円\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}}),円\mathrm {d} ^{n}x=\int f({\vec {x}}),円\delta ({\vec {a}}-{\vec {x}}),円\mathrm {d} ^{n}x=f({\vec {a}})}.

Die „mehrdimensionale" Delta-Distribution lässt sich als Produkt von „eindimensionalen" Delta-Distributionen schreiben:

${\displaystyle \delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=\delta (x_{1}-a_{1}),円\delta (x_{2}-a_{2}),円\dots ,円\delta (x_{n}-a_{n})}${\displaystyle \delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=\delta (x_{1}-a_{1}),円\delta (x_{2}-a_{2}),円\dots ,円\delta (x_{n}-a_{n})}.

Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta-Distribution, die häufig in der Elektrodynamik eingesetzt wird, um Punktladungen darzustellen:

${\displaystyle \delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=-{\frac {1}{4\pi }}\Delta {\frac {1}{\|{\vec {x}}-{\vec {a}}\|_{2}}}}${\displaystyle \delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=-{\frac {1}{4\pi }}\Delta {\frac {1}{\|{\vec {x}}-{\vec {a}}\|_{2}}}}.

In krummlinigen Koordinatensystemen muss die Funktionaldeterminante

${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x~\mathrm {d} y~\mathrm {d} z=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c}${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x~\mathrm {d} y~\mathrm {d} z=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c}

berücksichtigt werden.^[3]

Der Ansatz

${\displaystyle \delta ({{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}})=\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})}${\displaystyle \delta ({{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}})=\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})}

mit ${\displaystyle {\vec {r}}=(a,b,c)}${\displaystyle {\vec {r}}=(a,b,c)} und ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(a_{0},b_{0},c_{0})}${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(a_{0},b_{0},c_{0})} führt dabei auf die Gleichung

${\displaystyle \int _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})~\mathrm {d} ^{3}r=\iiint _{V}\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c~{\stackrel {!}{=}}~1}${\displaystyle \int _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})~\mathrm {d} ^{3}r=\iiint _{V}\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c~{\stackrel {!}{=}}~1}, falls ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}\in V}${\displaystyle {\vec {r}}_{0}\in V}.

Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss

${\displaystyle \gamma =\left(\left.\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}\right|_{{\vec {r}}_{0}}\right)^{-1}}${\displaystyle \gamma =\left(\left.\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}\right|_{{\vec {r}}_{0}}\right)^{-1}}.

In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminante entspricht.

In Kugelkoordinaten mit ${\displaystyle {\vec {r}}=(r,\theta ,\phi )}${\displaystyle {\vec {r}}=(r,\theta ,\phi )} und ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(r_{0},\theta _{0},\phi _{0})}${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(r_{0},\theta _{0},\phi _{0})} gilt:

${\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}~\delta (r-r_{0})~\delta (\theta -\theta _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})}${\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}~\delta (r-r_{0})~\delta (\theta -\theta _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})}

In Zylinderkoordinaten mit ${\displaystyle {\vec {r}}=(\rho ,\phi ,z)}${\displaystyle {\vec {r}}=(\rho ,\phi ,z)} und ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(\rho _{0},\phi _{0},z_{0})}${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(\rho _{0},\phi _{0},z_{0})} gilt:

${\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{\rho }}~\delta (\rho -\rho _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})~\delta (z-z_{0})}${\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{\rho }}~\delta (\rho -\rho _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})~\delta (z-z_{0})}

• Dirac-Identität
• Kronecker-Delta

• Dieter Landers, Lothar Rogge: Nichtstandard Analysis. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1994, ISBN 3-540-57115-9 (Springer-Lehrbuch).
• Wolfgang Walter: Einführung in die Theorie der Distributionen. 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17023-9.
• F. G. Friedlander: Introduction to the Theory of Distributions. With additional material by M. Joshi. 2. edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1998, ISBN 0-521-64015-6.

1. ↑ Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: eine anwendungsorientierte Einführung. 5. überarb. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2006, ISBN 3-540-34186-2, Seite 109.
2. ↑ Rüdiger Hoffmann: Grundlagen der Frequenzanalyse. Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker. Mit 11 Tabellen Expert Verlag, 2005, ISBN 978-3-8169-2447-0, S. 26.
3. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71251-0.

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