Triviale Topologie

Die triviale Topologie^[1] , indiskrete Topologie^[2] , chaotische Topologie^[3] oder Klumpentopologie^[4] ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur für eine Menge, die diese zu einem topologischen Raum macht.

Sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} eine Menge. Die triviale Topologie auf ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ist die Topologie, bei der nur die Menge ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }${\displaystyle \emptyset } offen sind.^[4]

Sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ein topologischer Raum versehen mit der trivialen Topologie.

• Alle Punkte in ${\displaystyle X}${\displaystyle X} sind topologisch ununterscheidbar.
• Entsprechend der Definition sind nur die leere Menge und die ganze Menge ${\displaystyle X}${\displaystyle X} abgeschlossen.
• Der Raum ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ist kompakt und somit insbesondere parakompakt, lindelöf und lokalkompakt.
• Der Raum ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ist wegzusammenhängend, denn jede Abbildung eines topologischen Raums nach ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ist stetig, und somit auch zusammenhängend.
• Die triviale Topologie ist die gröbste aller Topologien auf einer gegebenen Menge, insbesondere ist jede Abbildung von einem topologischen Raum in eine triviale Topologie stetig.
• Die triviale Topologie besitzt alle üblichen Trennungseigenschaften, sofern sie nicht T0 voraussetzen, und ist pseudometrisierbar durch die Pseudometrik, die beliebigen zwei Punkten den Abstand 0 zuordnet.
• Jeder Filter konvergiert in der trivialen Topologie gegen jeden Punkt, dies charakterisiert die triviale Topologie.

• Diskrete Topologie

1. ↑ Triviale Topologie. In: Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2002, ISBN 3-8274-0437-1.
2. ↑ Lothar Tschampel: BUCHMAT. 3.A: Topologie 1. Allgemeine Topologie. Version 2. Buch-X-Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-934671-60-7.
3. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 13., durchgesehene Auflage. Band 2. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-62232-7, S. 210. 
4. ↑ ^{a b} Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, S. 9. 

• Topologischer Raum