Hamilton-Jacobi-Formalismus

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jacob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

${\displaystyle (q,p)\rightarrow (q',p')}${\displaystyle (q,p)\rightarrow (q',p')}

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

${\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=0}${\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=0}

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten ${\displaystyle q'}${\displaystyle q'}, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten ${\displaystyle p'}${\displaystyle p'} Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden ${\displaystyle S}${\displaystyle S}. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

${\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}${\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion ${\displaystyle S(q,p',t)}${\displaystyle S(q,p',t)} gewählt, die von den alten Ortskoordinaten ${\displaystyle q}${\displaystyle q} und den neuen (konstanten) Impulsen ${\displaystyle p'}${\displaystyle p'} abhängt, so dass

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.}${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.}

Eingesetzt in ${\displaystyle {\tilde {H}}=0}${\displaystyle {\tilde {H}}=0} ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für ${\displaystyle S}${\displaystyle S}:

${\displaystyle H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}${\displaystyle H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen ${\displaystyle q_{k}}${\displaystyle q_{k}} und ${\displaystyle t}${\displaystyle t} für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion ${\displaystyle S}${\displaystyle S} (die Verwendung des Begriffs „Wirkung" wird weiter unten begründet).

Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional

${\displaystyle S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))\mathrm {d} s}${\displaystyle S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))\mathrm {d} s}

mit der Lagrange-Funktion ${\displaystyle L}${\displaystyle L}. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=L}${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=L}.

Sieht man ${\displaystyle S}${\displaystyle S} jedoch als Funktion der Koordinaten ${\displaystyle q}${\displaystyle q} und ${\displaystyle t}${\displaystyle t} an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\frac {\mathrm {d} q_{k}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{k}}}}${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\frac {\mathrm {d} q_{k}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{k}}}}.

Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}=\int _{0}^{t}{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\mathrm {d} s=\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}\mathrm {d} s={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}=p_{k}}${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}=\int _{0}^{t}{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\mathrm {d} s=\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}\mathrm {d} s={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}=p_{k}}

mit den kanonischen Impulsen ${\displaystyle p_{k}}${\displaystyle p_{k}}. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von ${\displaystyle S}${\displaystyle S} erhält man somit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=L={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum p_{k}{\dot {q_{k}}}}${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=L={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum p_{k}{\dot {q_{k}}}},

woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.

Für konservative Systeme (d. h. ${\displaystyle H}${\displaystyle H} nicht explizit zeitabhängig: ${\displaystyle H(q,p)\neq H(t)}${\displaystyle H(q,p)\neq H(t)}) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion ${\displaystyle S(q,p')}${\displaystyle S(q,p')} konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

${\displaystyle H(q,p)\Rightarrow {\tilde {H}}(p')}${\displaystyle H(q,p)\Rightarrow {\tilde {H}}(p')}

Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:

${\displaystyle {\dot {p}}'=-{\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial q'}}=0\Leftrightarrow p'=\mathrm {const} ,}${\displaystyle {\dot {p}}'=-{\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial q'}}=0\Leftrightarrow p'=\mathrm {const} ,}

die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:

${\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}=C\Leftrightarrow q'=Ct+b}${\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}=C\Leftrightarrow q'=Ct+b} mit ${\displaystyle C,b=\mathrm {const} .}${\displaystyle C,b=\mathrm {const} .}

Für ${\displaystyle S(q,p')}${\displaystyle S(q,p')} muss gelten

${\displaystyle p={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}},}${\displaystyle p={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}},}

${\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}${\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für ${\displaystyle S(q,p')}${\displaystyle S(q,p')} für konservative Systeme:

${\displaystyle H(q,p)\Rightarrow H\left(q,{\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)={\tilde {H}}(p').}${\displaystyle H(q,p)\Rightarrow H\left(q,{\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)={\tilde {H}}(p').}

Zur Veranschaulichung von ${\displaystyle S}${\displaystyle S} wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}},円S(q,p')&={\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial S}{\partial p'}}{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}+q'{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}\quad \quad \quad \mathrm {wegen} \;{\dot {p}}'=0.\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}},円S(q,p')&={\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial S}{\partial p'}}{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}+q'{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}\quad \quad \quad \mathrm {wegen} \;{\dot {p}}'=0.\end{aligned}}}

Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion ${\displaystyle L=T-V}${\displaystyle L=T-V}, wobei ${\displaystyle T}${\displaystyle T} die kinetische Energie ist, ${\displaystyle V(q)}${\displaystyle V(q)} das Potential):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}S(q,p')={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=2T}${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}S(q,p')={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=2T}.

Die zeitliche Integration liefert

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2T\ \mathrm {d} t=W,}${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2T\ \mathrm {d} t=W,}

also ist ${\displaystyle S(q,p')}${\displaystyle S(q,p')} mit dem Wirkungsintegral identisch.

Sei ${\displaystyle U=U(q)}${\displaystyle U=U(q)} ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

${\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(q),}${\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(q),}

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+U(q)={\tilde {H}}=E.}${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+U(q)={\tilde {H}}=E.}

Beim eindimensionalen Oszillator ist ${\displaystyle {\tilde {H}}}${\displaystyle {\tilde {H}}} die einzige Konstante der Bewegung. Da ${\displaystyle p'}${\displaystyle p'} ebenfalls konstant sein muss, setzt man ${\displaystyle p'={\tilde {H}}=E}${\displaystyle p'={\tilde {H}}=E}, was für alle konservativen Systeme möglich ist.

${\displaystyle \left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'}${\displaystyle \left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'}

Durch Integrieren folgt

${\displaystyle S(q,p')={\sqrt {2m}}\int _{q_{0}}^{q}{\sqrt {(p'-U({\tilde {q}}))}},円\mathrm {d} {\tilde {q}},}${\displaystyle S(q,p')={\sqrt {2m}}\int _{q_{0}}^{q}{\sqrt {(p'-U({\tilde {q}}))}},円\mathrm {d} {\tilde {q}},}

mit ${\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}${\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}

${\displaystyle q'={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {p'-U({\tilde {q}})}}}.}${\displaystyle q'={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {p'-U({\tilde {q}})}}}.}

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

${\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}={\frac {\partial E}{\partial p'}}={\frac {\partial p'}{\partial p'}}=1,}${\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}={\frac {\partial E}{\partial p'}}={\frac {\partial p'}{\partial p'}}=1,}

${\displaystyle \Rightarrow q'=t-{t_{0}}.}${\displaystyle \Rightarrow q'=t-{t_{0}}.}

Um die Bewegung in ${\displaystyle p(t)}${\displaystyle p(t)} und ${\displaystyle q(t)}${\displaystyle q(t)} darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

${\displaystyle p(t)={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}={\sqrt {2m(p'-U(q))}},}${\displaystyle p(t)={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}={\sqrt {2m(p'-U(q))}},}

${\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-U({\tilde {q}})}}}.}${\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-U({\tilde {q}})}}}.}

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit ${\displaystyle U(q)={\frac {1}{2}}aq^{2}}${\displaystyle U(q)={\frac {1}{2}}aq^{2}}

${\displaystyle p(t)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}aq^{2}\right)}},}${\displaystyle p(t)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}aq^{2}\right)}},}

${\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}a{\tilde {q}}^{2}}}}.}${\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}a{\tilde {q}}^{2}}}}.}

Somit (für den Fall ${\displaystyle q_{0}=0}${\displaystyle q_{0}=0})

${\displaystyle t-{t_{0}}={\sqrt {\frac {m}{a}}}\arcsin {\sqrt {\frac {a}{2E}}}q}${\displaystyle t-{t_{0}}={\sqrt {\frac {m}{a}}}\arcsin {\sqrt {\frac {a}{2E}}}q}

und letztlich

${\displaystyle q(t)={\sqrt {\frac {2E}{a}}}\sin {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0})},}${\displaystyle q(t)={\sqrt {\frac {2E}{a}}}\sin {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0})},}

${\displaystyle p(t)={\sqrt {2mE}}\cos {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0}}).}${\displaystyle p(t)={\sqrt {2mE}}\cos {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0}}).}

• Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5. 

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9. 

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