Eigenraum

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen Untervektorraum auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Sei ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} und ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)}${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)} ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon V\to V}${\displaystyle \varphi \colon V\to V}. Der Eigenraum ${\displaystyle E(\lambda )}${\displaystyle E(\lambda )} zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } ist dann

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\lambda )&:=\operatorname {Kern} (\varphi -\lambda \operatorname {id} _{V})\\&=\left\{x\in V\mid \varphi (x)=\lambda x\right\}\\&=\left\{x\in V\mid x\neq 0,\ \varphi (x)=\lambda x\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}E(\lambda )&:=\operatorname {Kern} (\varphi -\lambda \operatorname {id} _{V})\\&=\left\{x\in V\mid \varphi (x)=\lambda x\right\}\\&=\left\{x\in V\mid x\neq 0,\ \varphi (x)=\lambda x\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}}

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}${\displaystyle \operatorname {id} _{V}} die Identitätsabbildung auf ${\displaystyle V}${\displaystyle V}.

Man sagt dann auch, ${\displaystyle E\left(\lambda \right)\subseteq V}${\displaystyle E\left(\lambda \right)\subseteq V} ist invariant bezüglich des Endomorphismus ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } oder ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}${\displaystyle E\left(\lambda \right)} ist ein ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi }-invarianter Untervektorraum von ${\displaystyle V}${\displaystyle V}. Die Elemente ${\displaystyle x}${\displaystyle x} von ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}${\displaystyle E\left(\lambda \right)} sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi }, sowie der Nullvektor.

Die Dimension des Eigenraums ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}${\displaystyle E\left(\lambda \right)} wird als geometrische Vielfachheit von ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda }. Wenn die Dimension des Eigenraums ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}${\displaystyle E\left(\lambda \right)} größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.

• Existiert ein Eigenwert ${\displaystyle \lambda =0}${\displaystyle \lambda =0} von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi }, so ist der zugehörige Eigenraum ${\displaystyle E\left(\lambda \right)}${\displaystyle E\left(\lambda \right)} gleich dem Kern von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi }. Denn ${\displaystyle \operatorname {Kern} \left(\varphi \right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0\right\}}${\displaystyle \operatorname {Kern} \left(\varphi \right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0\right\}} und nach Definition des Eigenraumes: ${\displaystyle E\left(0\right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0x=0\right\}}${\displaystyle E\left(0\right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0x=0\right\}}.

• Die Summe von Eigenräumen zu ${\displaystyle n}${\displaystyle n} paarweise verschiedenen Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n}}${\displaystyle \lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n}} von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } ist direkt:

${\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=E(\lambda _{1})\oplus \dots \oplus E(\lambda _{n})}${\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=E(\lambda _{1})\oplus \dots \oplus E(\lambda _{n})}

• Gilt im obigen Fall ${\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=V}${\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=V}, so besitzt ${\displaystyle V}${\displaystyle V} eine Basis aus Eigenvektoren von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi }. In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix ${\displaystyle A}${\displaystyle A} von ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} \left(V\right)}${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} \left(V\right)} bezüglich einer Basis von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix ${\displaystyle A'}${\displaystyle A'} von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } bezüglich einer Basis von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} aus Eigenvektoren von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von ${\displaystyle A'}${\displaystyle A'} stehen dann die Eigenwerte von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi }:

${\displaystyle A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\0円&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\0円&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}${\displaystyle A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\0円&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\0円&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}

• Ist ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein Prähilbertraum und ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)}${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)} selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).

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