GARCH-Modelle

GARCH-Modelle (GARCH, Akronym für: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, deutsch verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizität ) bzw. verallgemeinerte autoregressive Modelle mit bedingter Heteroskedastizität oder auch verallgemeinerte autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse, die eine Verallgemeinerung der ARCH-Modelle (autoregressive conditional heteroscedasticity) sind. Sie werden beispielsweise in der Ökonometrie bei der Analyse der Renditen von Aktienkursen zur Modellierung des Volatilitätsclusterings verwendet. GARCH-Modelle wurden 1986 von Tim Bollerslev auf der Grundlage des ARCH-Modells von Robert F. Engle (1982) entwickelt.

Eine Zeitreihe ${\displaystyle (x_{t})_{t\in \mathbb {Z} }}${\displaystyle (x_{t})_{t\in \mathbb {Z} }} heißt GARCH(p,q)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}&=\sigma _{t}\epsilon _{t}\\\sigma _{t}^{2}&=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+\dotsb +a_{p}x_{t-p}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}+\dotsb +b_{q}\sigma _{t-q}^{2},\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}&=\sigma _{t}\epsilon _{t}\\\sigma _{t}^{2}&=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+\dotsb +a_{p}x_{t-p}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}+\dotsb +b_{q}\sigma _{t-q}^{2},\end{aligned}}}

wobei ${\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{p},b_{1},\dotsc ,b_{q}}${\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{p},b_{1},\dotsc ,b_{q}} reelle, nichtnegative Parameter mit ${\displaystyle a_{p}\neq 0}${\displaystyle a_{p}\neq 0} und ${\displaystyle b_{q}\neq 0}${\displaystyle b_{q}\neq 0} sind, und der Prozess ${\displaystyle (\epsilon _{t})_{t\in \mathbb {Z} }}${\displaystyle (\epsilon _{t})_{t\in \mathbb {Z} }} aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit ${\displaystyle \operatorname {E} (\epsilon _{t})=0}${\displaystyle \operatorname {E} (\epsilon _{t})=0} und ${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{t})=1}${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{t})=1} besteht.

Bei einem GARCH-Modell hängt also die bedingte Varianz ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\operatorname {Var} (x_{t}\mid x_{t-1},x_{t-2},\dotsc )}${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\operatorname {Var} (x_{t}\mid x_{t-1},x_{t-2},\dotsc )} von ${\displaystyle x_{t}}${\displaystyle x_{t}} von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab.

T-GARCH-Modelle sind keine echten GARCH-Modelle, sondern verallgemeinern diese wie folgt:
Mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p, z. B. p=0.999, entsprechen sie dem „normalen" GARCH und mit Wahrscheinlichkeit 1-p einem vorher festgelegten Wert. Mit diesen nicht-linearen Modellen können dann zum Beispiel Börsencrashs oder Ähnliches simuliert werden.^[2]

Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner und Ross Maller stellten 2004 eine zeitstetige Erweiterung des zeitdiskreten GARCH(1,1)-Prozesses vor. Man beginnt dafür mit den GARCH(1,1)-Gleichungen

${\displaystyle x_{t}=\sigma _{t}\epsilon _{t}}${\displaystyle x_{t}=\sigma _{t}\epsilon _{t}}

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}=a_{0}+a_{1}\sigma _{t-1}^{2}\epsilon _{t-1}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}}${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}=a_{0}+a_{1}\sigma _{t-1}^{2}\epsilon _{t-1}^{2}+b_{1}\sigma _{t-1}^{2}}

und ersetzt die unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle \epsilon _{t}}${\displaystyle \epsilon _{t}} formal durch die infinitesimalen Inkremente ${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}} eines Lévy-Prozesses ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}} sowie deren Quadrate ${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}} durch die Inkremente ${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}, wobei

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0}${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0}

der rein unstetige Teil des quadratischen Variationsprozesses von ${\displaystyle L}${\displaystyle L} ist. Man erhält also das System

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-},円\mathrm {d} L_{t}}${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-},円\mathrm {d} L_{t}}

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2}),円\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2},円\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2}),円\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2},円\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}

von stochastischen Differentialgleichungen, wobei sich die positiven Parameter ${\displaystyle \beta }${\displaystyle \beta }, ${\displaystyle \eta }${\displaystyle \eta } und ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } aus ${\displaystyle a_{0}}${\displaystyle a_{0}}, ${\displaystyle a_{1}}${\displaystyle a_{1}} und ${\displaystyle b_{1}}${\displaystyle b_{1}} bestimmen lassen. Hat man nun eine Anfangsbedingung ${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})} gegeben, so hat das obige System eine pfadweise eindeutige Lösung ${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}, die dann als COGARCH-Modell (continuous-time GARCH) bezeichnet wird.^[3]

• NARCH-Modell

• T. Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol. 31, No. 3, 1986, S. 307–327, doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1.
• J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.

1. ↑ Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.
2. ↑ Dissertation zu T-GARCH
3. ↑ C. Klüppelberg, A. Lindner, R. Maller: A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: stationarity and second-order behaviour. In: Journal of Applied Probability. Band 41, Nr. 3, 2004, S. 601–622, doi:10.1239/jap/1091543413 . 

• Ökonometrie
• Zeitreihenanalyse