Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers ${\displaystyle K}${\displaystyle K} ist definiert als

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\sum _{\mathfrak {a}}{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}^{-s}}${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\sum _{\mathfrak {a}}{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}^{-s}}

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}${\displaystyle {\mathfrak {a}}} die Ideale des Ganzheitsrings ${\displaystyle O(K)}${\displaystyle O(K)} des Zahlkörpers ${\displaystyle K}${\displaystyle K} durchläuft und ${\displaystyle {\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}${\displaystyle {\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})} deren Absolutnorm ist. Die Reihe ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}${\displaystyle \zeta _{K}(s)} ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich ${\displaystyle \Re (s)\geq 1+\delta }${\displaystyle \Re (s)\geq 1+\delta } für alle ${\displaystyle \delta >0}${\displaystyle \delta >0} und es gilt die Produktdarstellung

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {p}})}^{-s}}}}${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {p}})}^{-s}}}},

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}${\displaystyle {\mathfrak {p}}} die Primideale von ${\displaystyle O(K)}${\displaystyle O(K)} durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} sowie einen Pol in ${\displaystyle s=1}${\displaystyle s=1}.

Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen (dessen Ganzheitsring gerade ${\displaystyle \mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} } ist) korrespondiert.

• L-Funktion

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, ISBN 2-540-54273-5
• Wolfgang Schwarz: Aus der Geschichte der Zahlentheorie, Ergänzte Ausarbeitung einer einstündigen Vorlesung im Winter-Semester 2000/2001, Frankfurt am Main
• Stavros Garoufalidis, James E. Pommersheim: Values of zeta functions at negative integers, Dedekind sums and toric geometry , Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA.

• Algebraische Zahlentheorie