Datei:01-Elfeck-Quadratrix.svg

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Datei:01-Elfeck-Quadratrix.svg
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Originaldatei (SVG-Datei, Basisgröße: 595 ×ばつ 619 Pixel, Dateigröße: 61 KB)

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Beschreibung

Beschreibung01-Elfeck-Quadratrix.svg
Deutsch: Elfeck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
English: Hendecagon, exact construction using the quadratrix according of Hippias as an additional aid
Datum
Quelle Eigenes Werk
Urheber Petrus3743
SVG‐Erstellung
InfoField
Der SVG-Code ist valide .
Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.
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Exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

  1. Zeichne einen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis).
  2. Konstruiere über dem Radius OA1 das Quadrat OA1BC.
  3. Bestimme die Quadratrix von Hippias mit der Parameterkurve γ : ( 0 , π 2 ) → R 2 {\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} {\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}:
γ ( t ) = ( x ( t ) y ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}} {\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}
mit
x ( t ) = { t cot ⁡ ( π t 2 ⋅ 1 ) , 0 ≤ t ≤ 1 y ( t ) = t {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right),円&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right),円&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}
  1. Zeichne eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt O.
  2. Trage auf der Halbgeraden ab O elf gleiche Abstände ab. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Teilungspunkte bis 4 und und der Abschlußpunkt 11 dargestellt.
Anmerkung
Der Zentriwinkels des Elfecks ergibt sich aus μ = 360 ∘ 11 , {\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{11}},} {\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{11}},} aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab > 0 ∘ {\displaystyle >0^{\circ }} 0^{\circ }}"> bis ≤ 90 ∘ {\displaystyle \leq 90^{\circ }} {\displaystyle \leq 90^{\circ }} in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Elftel der Strecke OC kann nur ein Elftel des Winkels 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} {\displaystyle 90^{\circ }} erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels μ {\displaystyle \mu } {\displaystyle \mu } aus dem Umkreis mit seinen 360 ∘ , {\displaystyle 360^{\circ },} {\displaystyle 360^{\circ },} das Vierfache eines Elftels, d. h. der Teilungspunkt 4 ′ {\displaystyle 4'} {\displaystyle 4'} der Strecke OC, zur Konstruktion des Zentriwinkels μ {\displaystyle \mu } {\displaystyle \mu } genutzt.
  1. Verbinde den Abschlußpunkt 11 mit C.
  2. Ziehe eine Parallele zu C11 ab dem Teilungspunkt 4 bis OC, damit ergibt sich der Punkt 4'.
  3. Ziehe eine Parallele zu OA1 ab dem Punkt 4' bis zur Quadratrix, damit ergibt sich der Punkt D.
  4. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch D bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der zweite Eckpunkt A2 des entstehenden Elfecks sowie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) μ.
  5. Verbinde den Punkt A1 mit A2, die Länge der Strecke A1A2 ist die exakte Seitenlänge a {\displaystyle a} {\displaystyle a} des regelmäßigen Elfecks.
  6. Trage auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt A2 die Strecke A1A2 neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

Lizenz

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Motiv

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