Liouville-Funktion

Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } bezeichnet und ist wie folgt definiert:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},,円}${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},,円}

dabei bezeichnet ${\displaystyle \Omega (n)}${\displaystyle \Omega (n)} die Ordnung von ${\displaystyle n}${\displaystyle n}, also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem ${\displaystyle \lambda (0)=0}${\displaystyle \lambda (0)=0} und ${\displaystyle \lambda (1)=1}${\displaystyle \lambda (1)=1}.

Die ersten Werte (beginnend bei ${\displaystyle n=1}${\displaystyle n=1}) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, ... (OEIS,A008836^[1] )^[2]

Es gilt^[3]

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1,\qquad \mathrm {wenn} \;n\;\mathrm {eine\;Quadratzahl\;ist} \0,円\qquad \mathrm {sonst.} \end{cases}}}${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1,\qquad \mathrm {wenn} \;n\;\mathrm {eine\;Quadratzahl\;ist} \0,円\qquad \mathrm {sonst.} \end{cases}}}

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } durch^[4]

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion ${\displaystyle \zeta }${\displaystyle \zeta } ausdrücken:^[5]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}(\vartheta _{3}(q)-1),}${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}(\vartheta _{3}(q)-1),}

wobei ${\displaystyle \vartheta _{3}}${\displaystyle \vartheta _{3}} die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

Es sei

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k).}${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k).}

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets^[6]

${\displaystyle L(n)\leq 0.}${\displaystyle L(n)\leq 0.}

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist ${\displaystyle n=906150257}${\displaystyle n=906150257}. Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob ${\displaystyle L}${\displaystyle L} sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große ${\displaystyle n}${\displaystyle n} stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass ${\displaystyle M}${\displaystyle M} unendlich oft negative Werte annimmt.^[7] Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.^[8]

Eine Vermutung von Sarvadaman Chowla ^[9] besagt, dass für ${\displaystyle k}${\displaystyle k} verschiedene natürliche Zahlen ${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{k}}${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{k}} gilt:

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\lambda (n+h_{1})\cdot \cdot \cdot \lambda (n+h_{k})=o(x)}${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\lambda (n+h_{1})\cdot \cdot \cdot \lambda (n+h_{k})=o(x)}

(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit ${\displaystyle x\to \infty }${\displaystyle x\to \infty }, siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für ${\displaystyle k\geq 2}${\displaystyle k\geq 2}. Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung.^[10] Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.

Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von ${\displaystyle \lambda (n),\cdot \cdot \cdot ,\lambda (n+k)}${\displaystyle \lambda (n),\cdot \cdot \cdot ,\lambda (n+k)} für eine zufällig gewählte natürliche Zahl ${\displaystyle n\leq x}${\displaystyle n\leq x} und beliebige ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }${\displaystyle k\in \mathbb {N} } asymptotisch für ${\displaystyle x\to \infty }${\displaystyle x\to \infty } gleichverteilt ist.^[11]

• Eric W. Weisstein: Liouville Function. In: MathWorld (englisch).
• A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
• Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)

1. ↑ A008836 Liouville's function lambda(n) = (-1)^k, where k is number of primes dividing n (counted with multiplicity). The OEIS Foundation, abgerufen am 16. Juli 2019 (englisch). 
2. ↑ Vgl. Folgen A026424 und A028260.
3. ↑ Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)
4. ↑ A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
5. ↑ Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.
6. ↑ Eric W. Weisstein: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch).
7. ↑ Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.
8. ↑ Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: arxiv:0906.4155 (23. Juni 2009).
9. ↑ Sarvadaman Chowla: The Riemann Hypothesis and Hilbert ́s tenth problem, Gordon and Breach 1965
10. ↑ K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla ́s conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 2167–2196, Arxiv
11. ↑ Sign patterns of Liouville and Mobius functions, Blog Terry Tao

• Zahlentheoretische Funktion