Zentrierte Dreieckszahl

Eine zentrierte Dreieckszahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel

${\displaystyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}}${\displaystyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}}

aus einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} berechnen lässt. Die ersten zentrierten Dreieckszahlen sind

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, ... (Folge A005448 in OEIS)

Die zentrierten Dreieckszahlen gehören wie die zentrierten Quadratzahlen sowie die zentrierten Fünf- und Sechseckszahlen zu den zentrierten Polygonalzahlen, also zu den ebenen figurierten Zahlen.

Die zentrierten Dreieckszahlen beziffern nämlich die Anzahl von Steinchen, um ein Dreieck nach folgender Vorschrift zu legen: Es befindet sich ein Steinchen im Zentrum und um dieses werden in dreiecksförmigen Schichten mit steigender Seitenlänge weitere Steinchen angeordnet. Die Anzahl der Steinchen in einer solchen Anordnung mit ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Schichten wird als ${\displaystyle (n+1)}${\displaystyle (n+1)}-te zentrierte Dreieckszahl bezeichnet.

Für ${\displaystyle n\geq 3}${\displaystyle n\geq 3} lässt sich jede zentrierte Dreieckszahl als die Summe dreier aufeinanderfolgender normaler Dreieckszahlen ${\displaystyle \Delta _{n-2}+\Delta _{n-1}+\Delta _{n}}${\displaystyle \Delta _{n-2}+\Delta _{n-1}+\Delta _{n}} darstellen. Des Weiteren gilt, dass eine Ganzzahldivision einer beliebigen zentrierten Dreieckszahl ${\displaystyle ZD_{n}}${\displaystyle ZD_{n}} durch 3 immer den Rest 1 ergibt und als Quotient die vorhergehende Dreieckszahl ${\displaystyle \Delta _{n-1}}${\displaystyle \Delta _{n-1}}.

Die Summe der ersten n zentrierten Dreieckszahlen (n ≥ 3) ergibt die magische Konstante (Zeilensumme) eines magischen Quadrates der Zahlen 1 bis n2.

Die unendliche Summe der Kehrwerte der zentrierten Dreieckszahlen ergibt diesen Wert:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{ZD_{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{3n^{2}-3n+2}}={\frac {2}{\sqrt {15}}}\pi \tanh {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {15}}\pi {\bigr )}}${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{ZD_{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{3n^{2}-3n+2}}={\frac {2}{\sqrt {15}}}\pi \tanh {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {15}}\pi {\bigr )}}

Das unendliche Produkt von den Quotienten der verdoppelten zentrierten Dreieckszahlen dividiert durch die zentrierten Sechseckszahlen an denselben Positionen ergibt jenen Wert:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2ZD_{n}}{ZS_{n}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {3n^{2}-3n+2}{3n^{2}-3n+1}}=\operatorname {sech} {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\pi {\bigr )}\cosh {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {15}}\pi {\bigr )}}${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2ZD_{n}}{ZS_{n}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {3n^{2}-3n+2}{3n^{2}-3n+1}}=\operatorname {sech} {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\pi {\bigr )}\cosh {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {15}}\pi {\bigr )}}

Eine zentrierte Dreieckszahl, die eine Primzahl ist, wird als zentrierte Dreiecksprimzahl bezeichnet. Die ersten zentrierten Dreiecksprimzahlen lauten:

19, 31, 109, 199, 409, ... (Folge A125602 in OEIS)

• Polygonalzahl

• Lancelot Hogben: Mathematik für alle. Eine Einführung in die Wissenschaft der Zahlen und Figuren. Neu überarbeitete Ausgabe. Pawlak, Herrsching 1985, ISBN 3-88199-208-1, S. 151 ff.

• Eric W. Weisstein: centered triangular number. In: MathWorld (englisch).

• Figurierte Zahl