Satz von Krein-Milman

Der Satz von Krein-Milman^[1] (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Ist ${\displaystyle E}${\displaystyle E} ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset E}${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset E} eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.^[2]

Der Beweis des Krein-Milman’schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.^{[3] [4]}

Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman bezeichnet wird:^[5] Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset E}${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset E} eine kompakte, konvexe Menge und ist ${\displaystyle T\subseteq {\mathcal {C}}}${\displaystyle T\subseteq {\mathcal {C}}} so beschaffen, dass ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von ${\displaystyle T}${\displaystyle T} ist, so sind im topologischen Abschluss von ${\displaystyle T}${\displaystyle T} alle Extremalpunkte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} enthalten.^[6]

Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen, wo mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vorliegen.

Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.

Der Banachraum ${\displaystyle c_{0}}${\displaystyle c_{0}} der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }} ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }${\displaystyle m\in \mathbb {N} } mit ${\displaystyle |x_{m}|<{\tfrac {1}{2}}}${\displaystyle |x_{m}|<{\tfrac {1}{2}}}, denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun ${\displaystyle h=(h_{n})_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle h=(h_{n})_{n\in \mathbb {N} }} definiert durch ${\displaystyle h_{n}=0}${\displaystyle h_{n}=0} für ${\displaystyle n\neq m}${\displaystyle n\neq m} und ${\displaystyle h_{m}={\tfrac {1}{2}}}${\displaystyle h_{m}={\tfrac {1}{2}}}, so sind ${\displaystyle \|x+h\|_{\infty }\leq 1}${\displaystyle \|x+h\|_{\infty }\leq 1} und ${\displaystyle \|x-h\|_{\infty }\leq 1}${\displaystyle \|x-h\|_{\infty }\leq 1} und ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(x+h)+{\tfrac {1}{2}}(x-h)}${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(x+h)+{\tfrac {1}{2}}(x-h)}, das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt ${\displaystyle x}${\displaystyle x} der Einheitskugel ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von ${\displaystyle c_{0}}${\displaystyle c_{0}} keine Extremalpunkte und ${\displaystyle c_{0}}${\displaystyle c_{0}} kann daher kein Dualraum sein.

• Choquet-Theorie
• Krein-Milman-Eigenschaft
• Satz von Russo-Dye

• Harro Heuser: Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, Teubner, November 2006, 362–363.
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 164/164a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 147–149 (MR0209926). 
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 75–77 (MR1157815). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 418 ff. 

1. ↑ M. Krein, D. Milman (1940): "On extreme points of regular convex sets", Studia Mathematica 9, 133–138.
2. ↑ Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75
3. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 418 ff.
4. ↑ Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75 ff.
5. ↑ Diese Umkehrsatz zum Krein-Milman’schen ist nicht mit dem Satz von Milman-Pettis identisch.
6. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 423

• Funktionalanalysis
• Satz (Mathematik)