Lemma von Céa

Das Lemma von Céa oder das Céa-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Es ist grundlegend für die Fehlerschätzung von Finite-Elemente-Näherungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Lemma trägt den Namen zu Ehren des französischen Mathematikers Jean Céa ^[1] , der es in seiner Dissertation 1964 bewies.

Sei ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein reeller Hilbertraum mit der Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}${\displaystyle \|\cdot \|}. Sei ${\displaystyle a\colon V\times V\to \mathbb {R} }${\displaystyle a\colon V\times V\to \mathbb {R} } eine Bilinearform, die

• beschränkt (äquivalent dazu stetig), d. h. ${\displaystyle |a(v,w)|\leq C\|v\|,円\|w\|}${\displaystyle |a(v,w)|\leq C\|v\|,円\|w\|} für eine Konstante ${\displaystyle C>0}${\displaystyle C>0} und alle ${\displaystyle v,w\in V}${\displaystyle v,w\in V}

• und koerzitiv (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d. h. ${\displaystyle a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}}${\displaystyle a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}} für eine Konstante ${\displaystyle \alpha >0}${\displaystyle \alpha >0} und alle ${\displaystyle v\in V}${\displaystyle v\in V}

ist. Sei weiter ${\displaystyle L\colon V\to \mathbb {R} }${\displaystyle L\colon V\to \mathbb {R} } ein beschränkter linearer Operator.

Betrachte das Problem, ein ${\displaystyle u\in V}${\displaystyle u\in V} mit

${\displaystyle a(u,v)=L(v),円}${\displaystyle a(u,v)=L(v),円} für alle ${\displaystyle v\in V}${\displaystyle v\in V}

zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum ${\displaystyle V_{h}\subset V}${\displaystyle V_{h}\subset V}, d. h. es ist ein ${\displaystyle u_{h}\in V_{h}}${\displaystyle u_{h}\in V_{h}} zu finden mit

${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v),円}${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v),円} für alle ${\displaystyle v\in V_{h}}${\displaystyle v\in V_{h}}.

Nach dem Lemma von Lax-Milgram gibt es für beide Probleme eine eindeutige Lösung.

Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann besagt das Lemma von Céa:

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\frac {C}{\alpha }}\inf _{v_{h}\in V_{h}}\left(\|u-v_{h}\|\right)}${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\frac {C}{\alpha }}\inf _{v_{h}\in V_{h}}\left(\|u-v_{h}\|\right)}.

Dies bedeutet, dass die Approximation der Lösung ${\displaystyle u_{h}}${\displaystyle u_{h}} aus dem Unterraum ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}} höchstens um die Konstante ${\displaystyle {\tfrac {C}{\alpha }}}${\displaystyle {\tfrac {C}{\alpha }}} schlechter ist als die beste Approximation für ${\displaystyle u}${\displaystyle u} im Raum ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}}, sie ist quasi-optimal.

Mit einer symmetrischen Bilinearform verkleinert sich die Konstante auf ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {C}{\alpha }}}}${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {C}{\alpha }}}},^[1] der Beweis ist weiter unten angegeben.

Das Lemma von Céa gilt auch für komplexe Hilberträume, indem eine Sesquilinearform ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )} statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu ${\displaystyle |a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}}${\displaystyle |a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}} für alle ${\displaystyle v\in V}${\displaystyle v\in V}, man beachte die Betragszeichen um ${\displaystyle a(v,v)}${\displaystyle a(v,v)}.

Die Approximationsgüte des Ansatzraums ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}} bestimmt den Approximationsfehler ${\displaystyle \|u-u_{h}\|}${\displaystyle \|u-u_{h}\|} stark.

In vielen Anwendungen ist die Bilinearform ${\displaystyle a}${\displaystyle a} symmetrisch, also ${\displaystyle a(v,w)=a(w,v)}${\displaystyle a(v,w)=a(w,v)} für alle ${\displaystyle v,w}${\displaystyle v,w} in ${\displaystyle V}${\displaystyle V}. Mit den Voraussetzungen des Céa-Lemmas ergibt sich, dass ${\displaystyle a}${\displaystyle a} ein Skalarprodukt von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ist. Die implizierte Norm ${\displaystyle \|v\|_{a}={\sqrt {a(v,v)}}}${\displaystyle \|v\|_{a}={\sqrt {a(v,v)}}} wird Energienorm genannt, weil sie in vielen physikalischen Problemen eine Energie darstellt. Diese Norm ist äquivalent zur Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}${\displaystyle \|\cdot \|} des Vektorraums ${\displaystyle V}${\displaystyle V}.

Aus der Galerkin-Orthogonalität von ${\displaystyle u-u_{h}}${\displaystyle u-u_{h}} mit ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}} und der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ergibt sich

${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}^{2}=a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \|u-u_{h}\|_{a}\cdot \|u-v\|_{a}}${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}^{2}=a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \|u-u_{h}\|_{a}\cdot \|u-v\|_{a}} für alle ${\displaystyle v}${\displaystyle v} in ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}}.

Somit lautet das Lemma von Céa in der Energienorm:

${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}\leq \|u-v\|_{a}}${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}\leq \|u-v\|_{a}} für alle ${\displaystyle v}${\displaystyle v} in ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}}.

Man beachte, dass die Konstante ${\displaystyle {\tfrac {C}{\alpha }}}${\displaystyle {\tfrac {C}{\alpha }}} auf der rechten Seite verschwunden ist.

Das bedeutet, dass die Unterraum-Lösung ${\displaystyle u_{h}}${\displaystyle u_{h}} die beste Approximation der Lösung ${\displaystyle u}${\displaystyle u} bezüglich der Energienorm ist. Geometrisch lässt sich ${\displaystyle u_{h}}${\displaystyle u_{h}} als Projektion bezüglich ${\displaystyle a}${\displaystyle a} von ${\displaystyle u}${\displaystyle u} auf den Unterraum ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}} interpretieren.

Damit lässt sich die schärfere Schranke für symmetrische Bilinearformen für die gewöhnliche Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}${\displaystyle \|\cdot \|} des Vektorraums ${\displaystyle V}${\displaystyle V} zeigen. Aus

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=\|u-u_{h}\|_{a}^{2}\leq \|u-v\|_{a}^{2}\leq C\|u-v\|^{2}}${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=\|u-u_{h}\|_{a}^{2}\leq \|u-v\|_{a}^{2}\leq C\|u-v\|^{2}} für alle ${\displaystyle v}${\displaystyle v} in ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}}

folgt

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\sqrt {\frac {C}{\alpha }}}\|u-v\|}${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\sqrt {\frac {C}{\alpha }}}\|u-v\|} für alle ${\displaystyle v}${\displaystyle v} in ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}}.

Der Beweis ist nicht lang und führt die Notwendigkeit der Voraussetzungen vor Augen.

Die in der Problemstellung gegebenen Gleichung ${\displaystyle a(u,v)=L(v)}${\displaystyle a(u,v)=L(v)} für alle ${\displaystyle v\in V}${\displaystyle v\in V} und ${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)}${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)} für alle ${\displaystyle v\in V_{h}}${\displaystyle v\in V_{h}} werden voneinander abgezogen, was wegen ${\displaystyle V_{h}\subset V}${\displaystyle V_{h}\subset V} möglich ist. Die resultierende Gleichung lautet ${\displaystyle a(u-u_{h},v)=0}${\displaystyle a(u-u_{h},v)=0} für alle ${\displaystyle v\in V_{h}}${\displaystyle v\in V_{h}} und wird Galerkin-Orthogonalität genannt.

Die Bilinearform ${\displaystyle a}${\displaystyle a} ist koerziv

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})}${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})}

Addition von 0, sei ${\displaystyle v_{h}\in V_{h}}${\displaystyle v_{h}\in V_{h}}

${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h}+v_{h}-u_{h})}${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h}+v_{h}-u_{h})}

Mit Bilinearität von ${\displaystyle a}${\displaystyle a}

${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h})+a(u-u_{h},v_{h}-u_{h})}${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h})+a(u-u_{h},v_{h}-u_{h})}

Der zweite Term ist 0 wegen der Galerkin-Orthogonalität, da ${\displaystyle v:=v_{h}-u_{h}\in V_{h}}${\displaystyle v:=v_{h}-u_{h}\in V_{h}}

${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h})}${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h})}

Die Bilinearform ${\displaystyle a}${\displaystyle a} ist stetig

${\displaystyle \leq C\|u-u_{h}\|\|u-v_{h}\|}${\displaystyle \leq C\|u-u_{h}\|\|u-v_{h}\|}

Die Gleichung kann durch ${\displaystyle \|u-u_{h}\|}${\displaystyle \|u-u_{h}\|} geteilt werden. Da ${\displaystyle v_{h}}${\displaystyle v_{h}} beliebig aus ${\displaystyle V_{h}}${\displaystyle V_{h}} gewählt ist, kann auch das Infimum gewählt werden, wodurch wir die Aussage erhalten.

• D. Braess: Finite Elemente - Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 4. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-72449-0 (Kapitel II §4.2 und Kapitel III §1.1). 

• Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, Annales de l'institut Fourier, Band 14, Nr. 2, 1964, S. 345–444, PDF, 5 MB (Original-Arbeit von J. Céa)

1. ↑ ^{a b} E. Emmrich: Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen - Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-528-03213-5, Seite 112

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