Jones-Polynom

Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in ${\displaystyle {\sqrt {t}}}${\displaystyle {\sqrt {t}}}.

Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.

Sei ${\displaystyle L}${\displaystyle L} eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom ${\displaystyle \langle L\rangle }${\displaystyle \langle L\rangle } ist ein zu einem Diagramm von ${\displaystyle L}${\displaystyle L} assoziiertes Laurent-Polynom in ${\displaystyle A}${\displaystyle A}. Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel ${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }, wobei ${\displaystyle w(L)}${\displaystyle w(L)} die Verwringung von ${\displaystyle L}${\displaystyle L} bezeichnet. ${\displaystyle X(L)}${\displaystyle X(L)} ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom ${\displaystyle V(L)}${\displaystyle V(L)} erhält man, indem man ${\displaystyle A=t^{-1/4}}${\displaystyle A=t^{-1/4}} in ${\displaystyle X(L)}${\displaystyle X(L)} substituiert.

Sei ${\displaystyle L}${\displaystyle L} eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist ${\displaystyle L}${\displaystyle L} der Abschluss eines Zopfes mit ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Komponenten. Eine Darstellung ${\displaystyle \rho }${\displaystyle \rho } der Zopfgruppe ${\displaystyle B_{n}}${\displaystyle B_{n}} in die Temperley–Lieb-Algebra ${\displaystyle TL_{n}}${\displaystyle TL_{n}} mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]} und ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}} wird definiert, indem man den Erzeuger ${\displaystyle \sigma _{i}}${\displaystyle \sigma _{i}} auf ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1} abbildet, wobei ${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}} die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei ${\displaystyle \sigma }${\displaystyle \sigma } der zu ${\displaystyle L}${\displaystyle L} assoziierte Zopf. Berechne ${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}, wobei ${\displaystyle \operatorname {tr} }${\displaystyle \operatorname {tr} } die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom ${\displaystyle \langle L\rangle }${\displaystyle \langle L\rangle }, aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-}),,円}${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-}),,円}

wobei ${\displaystyle L_{+}}${\displaystyle L_{+}}, ${\displaystyle L_{-}}${\displaystyle L_{-}} und ${\displaystyle L_{0}}${\displaystyle L_{0}} orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

Das Jones-Polynom kann nach Edward Witten mit einer topologischen Quantenfeldtheorie, der Chern-Simons-Theorie, definiert werden.^[1]

Kauffman, Murasugi und Thistlethwaite benutzten das Jones-Polynom, um eine der aus dem 19. Jahrhundert stammenden Tait-Vermutungen zu beweisen: Für einen alternierenden Knoten hat jedes reduzierte Diagramm die kleinstmögliche Kreuzungszahl.

Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

• Für einen Knoten ist ${\displaystyle V(1)=1}${\displaystyle V(1)=1}, für eine Verschlingung mit ${\displaystyle l\geq 2}${\displaystyle l\geq 2} Komponenten ist ${\displaystyle V(1)={\frac {1}{2^{l-1}}}}${\displaystyle V(1)={\frac {1}{2^{l-1}}}}.
• Falls die Arf-Invariante definiert ist, ist ${\displaystyle V(i)=(-{\sqrt {2}})^{l-1}(-1)^{Arf(L)}}${\displaystyle V(i)=(-{\sqrt {2}})^{l-1}(-1)^{Arf(L)}}.
• ${\displaystyle V(e^{\frac {2\pi i}{3}})=1}${\displaystyle V(e^{\frac {2\pi i}{3}})=1}.
• Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.

• Alexander-Polynom
• HOMFLY-Polynom

• Vaughan F. R. Jones: A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. In: Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). Vol. 12, Nr. 1. American Mathematical Society, 1985, ISSN 0273-0979 , S. 103–111, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 (ams.org [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]). 
• Louis H. Kauffman: State models and the Jones polynomial. In: Topology. Vol. 26, Nr. 3. Elsevier, 1987, ISSN 0040-9383 , S. 395–407, doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7 (knot.kaist.ac.kr [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]). 
• Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: On the Jones polynomial. In: Enseign. Math. (2) 32 (1986), no. 3–4, S. 271–335.
• W. B. Raymond Lickorish: An introduction to knot theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 175). Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98254-X. 

• Edward Witten: Two Lectures on the Jones Polynomial and Khovanov Homology. (PDF; 619 kB)
• Alan Chang: On the Jones polynomial and its applications.

1. ↑ Witten, op.cit.

• Knoteninvariante
• Polynom