Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen- , Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle ${\displaystyle x=0}${\displaystyle x=0} überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta \colon \;&\mathbb {R} \to \{0,1\}\\\ &x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\1円:&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta \colon \;&\mathbb {R} \to \{0,1\}\\\ &x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\1円:&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls ${\displaystyle [0,+\infty )}${\displaystyle [0,+\infty )} der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur sind statt ${\displaystyle \Theta (x)}${\displaystyle \Theta (x)} auch davon abweichende Notationen geläufig:

• ${\displaystyle H(x)}${\displaystyle H(x)}, welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
• ${\displaystyle s(x)}${\displaystyle s(x)} und ${\displaystyle \sigma (x)}${\displaystyle \sigma (x)} nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
• ${\displaystyle u(x)}${\displaystyle u(x)} nach der Bezeichnung englisch unit step function.
• Auch ${\displaystyle \epsilon (x)}${\displaystyle \epsilon (x)} wird häufig verwendet.
• In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol ${\displaystyle 1(x)}${\displaystyle 1(x)}.

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von ${\displaystyle x=0}${\displaystyle x=0} den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle ${\displaystyle x=0}${\displaystyle x=0} kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{c}\colon \;&\mathbb {R} \to \mathbb {K} \\,円&x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\\c:&x=0\1円:&x>0\end{cases}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{c}\colon \;&\mathbb {R} \to \mathbb {K} \\,円&x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\\c:&x=0\1円:&x>0\end{cases}}\end{aligned}}}

mit ${\displaystyle 0,1,c\in \mathbb {K} }${\displaystyle 0,1,c\in \mathbb {K} }. Es kann ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} } also eine beliebige geordnete Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch ${\displaystyle \mathbb {K} =[0,1]\subset \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {K} =[0,1]\subset \mathbb {R} } verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann ${\displaystyle \Theta _{c}(0)=c}${\displaystyle \Theta _{c}(0)=c} ist.

Durch die Wahl ${\displaystyle c:={\tfrac {1}{2}}}${\displaystyle c:={\tfrac {1}{2}}} und folglich ${\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(0)=\textstyle {\frac {1}{2}}}${\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(0)=\textstyle {\frac {1}{2}}} erreicht man, dass die Gleichungen

${\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}(\operatorname {sgn} {(x)}+1)}${\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}(\operatorname {sgn} {(x)}+1)} und damit auch

${\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(-x)=1-\Theta _{\frac {1}{2}}(x)}${\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(-x)=1-\Theta _{\frac {1}{2}}(x)}

für alle reellen ${\displaystyle x}${\displaystyle x} gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

${\displaystyle \Theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \varepsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau },円\mathrm {d} \tau }${\displaystyle \Theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \varepsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau },円\mathrm {d} \tau }

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

${\displaystyle \Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\left[\arctan \left({x \over \varepsilon }\right)+{\pi \over 2}\right]}${\displaystyle \Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\left[\arctan \left({x \over \varepsilon }\right)+{\pi \over 2}\right]}

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\Theta (x)=\delta (x)}${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\Theta (x)=\delta (x)}

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man ${\displaystyle \Theta (x)}${\displaystyle \Theta (x)} und ${\displaystyle \delta (x)}${\displaystyle \delta (x)} geeignet approximiert, z. B. durch

${\displaystyle \Theta _{\varepsilon }(x):={\begin{cases}0&x<(-\varepsilon )\\\left({\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\varepsilon }}\right)&|x|\leq \varepsilon \1円&x>\varepsilon ,,円\end{cases}}}${\displaystyle \Theta _{\varepsilon }(x):={\begin{cases}0&x<(-\varepsilon )\\\left({\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\varepsilon }}\right)&|x|\leq \varepsilon \1円&x>\varepsilon ,,円\end{cases}}}

sowie

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }(x):={\begin{cases}0&|x|>\varepsilon \\{\frac {1}{2\varepsilon }}&|x|\leq \varepsilon ,,円\end{cases}}}${\displaystyle \delta _{\varepsilon }(x):={\begin{cases}0&|x|>\varepsilon \\{\frac {1}{2\varepsilon }}&|x|\leq \varepsilon ,,円\end{cases}}}

wobei jeweils der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \searrow 0}}${\displaystyle \lim _{\varepsilon \searrow 0}} betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden.

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen ${\displaystyle x<0}${\displaystyle x<0} und ${\displaystyle x\geq 0}${\displaystyle x\geq 0} aus der Fallunterscheidung in der Definition:

• Für ${\displaystyle x>0}${\displaystyle x>0} gilt

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t&=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\1円&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.,円\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{0}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\1円&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.,円\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\1円&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.,円\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{0}0,円\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}1,円\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}1,円\mathrm {d} t={\Big [}t{\Big ]}_{0}^{x}=x\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t&=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\1円&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.,円\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{0}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\1円&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.,円\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\1円&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.,円\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{0}0,円\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}1,円\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}1,円\mathrm {d} t={\Big [}t{\Big ]}_{0}^{x}=x\end{aligned}}}

• Für ${\displaystyle x\leq 0}${\displaystyle x\leq 0} tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt

  ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\1円&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.,円\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}0,円\mathrm {d} t=0}${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\1円&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.,円\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}0,円\mathrm {d} t=0}.

Zusammengenommen gilt also

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t=\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}x\leq 0\\x&{\text{,}}&&{\text{falls }}x>0\end{alignedat}}\right.}${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t=\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}x\leq 0\\x&{\text{,}}&&{\text{falls }}x>0\end{alignedat}}\right.}

beziehungsweise

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t=\max \left\{0,x\right\}}${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t=\max \left\{0,x\right\}}.

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

${\displaystyle \int \Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t=\max \left\{0,x\right\}+C}${\displaystyle \int \Theta \!\left(t\right),円\mathrm {d} t=\max \left\{0,x\right\}+C}.

• Sprungantwort
• Schwellenwert (Elektronik), Schwellenwertverfahren
• Rechteckfunktion
• Föppl-Klammer
• Vorzeichenfunktion
• Fermi-Verteilung

• Eric W. Weisstein: Heaviside Step Function. In: MathWorld (englisch).

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