Birkhoff-Integral

Das Birkhoff-Integral ist ein Integralbegriff, der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingeführt wurde. Während das Bochner-Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist, stellt das Birkhoff-Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Zum einen werden nun Funktionen betrachtet, welche über einem beliebigen ${\displaystyle \textstyle \sigma }${\displaystyle \textstyle \sigma }-endlichen Maßraum definiert sind. Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen (die sog. Riemann-Summen) betrachtet, sondern unbedingt konvergente Reihen. Während jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Lebesgue-integrierbar ist, gilt andererseits, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auf einem ${\displaystyle \textstyle \sigma }${\displaystyle \textstyle \sigma }-endlichen Maßraum Birkhoff-integrierbar sein muss.

Es seien ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} ein ${\displaystyle \textstyle \sigma }${\displaystyle \textstyle \sigma }-endlicher Maßraum und ${\displaystyle \textstyle (B,\|\cdot \|)}${\displaystyle \textstyle (B,\|\cdot \|)} ein Banachraum und ${\displaystyle \textstyle f\colon \Omega \to B}${\displaystyle \textstyle f\colon \Omega \to B} eine Funktion. Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunächst drei grundlegende Abkürzungen eingeführt:

• Für eine Menge ${\displaystyle \textstyle \emptyset \neq M\subseteq B}${\displaystyle \textstyle \emptyset \neq M\subseteq B} wird der Durchmesser definiert durch ${\displaystyle \textstyle \mathrm {diam} (M):=\sup _{x,y\in M}\|x-y\|}${\displaystyle \textstyle \mathrm {diam} (M):=\sup _{x,y\in M}\|x-y\|}.
• Für eine Menge ${\displaystyle \textstyle \emptyset \neq M\subseteq B}${\displaystyle \textstyle \emptyset \neq M\subseteq B} bezeichnet ${\displaystyle \textstyle \mathrm {konv} (M)}${\displaystyle \textstyle \mathrm {konv} (M)} die konvexe Hülle von ${\displaystyle \textstyle M}${\displaystyle \textstyle M}.

• Eine Teilmenge ${\displaystyle \textstyle \Gamma }${\displaystyle \textstyle \Gamma } der ${\displaystyle \textstyle \sigma }${\displaystyle \textstyle \sigma }-Algebra ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {A}}}${\displaystyle \textstyle {\mathcal {A}}} heißt abzählbare ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-Partition von ${\displaystyle \textstyle \Omega }${\displaystyle \textstyle \Omega }, wenn
  • ${\displaystyle \textstyle \Gamma }${\displaystyle \textstyle \Gamma } eine abzählbare Partition von ${\displaystyle \textstyle \Omega }${\displaystyle \textstyle \Omega } ist und
  • jede Menge in ${\displaystyle \textstyle \Gamma }${\displaystyle \textstyle \Gamma } endliches Maß hat, also gilt ${\displaystyle \textstyle \forall M\in \Gamma :\mu (M)<\infty }${\displaystyle \textstyle \forall M\in \Gamma :\mu (M)<\infty }.

Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff-Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann-Integrals definiert werden. Zuerst wird der Begriff der Riemann-Summen über einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert:

${\displaystyle \textstyle f}${\displaystyle \textstyle f} heißt unbedingt summierbar unter der abzählbaren ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-Partition ${\displaystyle \textstyle \Gamma }${\displaystyle \textstyle \Gamma } von ${\displaystyle \textstyle \Omega }${\displaystyle \textstyle \Omega }, wenn gilt: ${\displaystyle \textstyle \forall (b_{M})_{M\in \Gamma }\in \prod _{M\in \Gamma }f(M)\colon \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}}${\displaystyle \textstyle \forall (b_{M})_{M\in \Gamma }\in \prod _{M\in \Gamma }f(M)\colon \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}} ist unbedingt konvergent.

Jede formal mögliche abzählbare Riemann-Summe über der ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-Partition muss also unbedingt konvergent sein. In der nächsten Definition werden dann alle Riemann-Summen-Werte dieser ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-Partition gesammelt:

${\displaystyle \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M):={\bigg \{}\sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M},円{\Big |},円\forall ,円M\in \Gamma :b_{M}\in f(M){\bigg \}}}${\displaystyle \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M):={\bigg \{}\sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M},円{\Big |},円\forall ,円M\in \Gamma :b_{M}\in f(M){\bigg \}}}.

Man nennt ${\displaystyle \textstyle f}${\displaystyle \textstyle f} (unbedingt) Birkhoff-integrierbar, wenn es eine Folge ${\displaystyle \textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }}${\displaystyle \textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }} von abzählbaren ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-Partitionen gibt mit ${\displaystyle \textstyle \forall ,円i\in \mathbb {N} :f}${\displaystyle \textstyle \forall ,円i\in \mathbb {N} :f} ist unbedingt summierbar unter ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{i}}${\displaystyle \textstyle \Gamma _{i}} und zudem noch gilt

${\displaystyle \displaystyle \lim _{i\to \infty }\mathrm {diam} {\bigg (}{\overline {\mathrm {konv} {\Big (}\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}{\bigg )}=0}${\displaystyle \displaystyle \lim _{i\to \infty }\mathrm {diam} {\bigg (}{\overline {\mathrm {konv} {\Big (}\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}{\bigg )}=0}.

Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehörigen Mengen der Riemann-Summen-Werte (zuvor konvex- und dann topologisch abgeschlossen) müssen also gegen Null konvergieren. Dann gibt es nämlich genau ein Element ${\displaystyle \textstyle b}${\displaystyle \textstyle b} im Durchschnitt

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {{\rm {konv}}{\Big (}\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}}${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {{\rm {konv}}{\Big (}\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}}.

Dieses ist zudem unabhängig von der konkreten Wahl der Folge ${\displaystyle \textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }}${\displaystyle \textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }} und als das (unbedingte) Birkhoff-Integral definiert man

${\displaystyle \int _{\Omega }f,円{\rm {d}}\mu :=b}${\displaystyle \int _{\Omega }f,円{\rm {d}}\mu :=b}.

• Jede auf einem ${\displaystyle \textstyle \sigma }${\displaystyle \textstyle \sigma }-endlichen Maßraum definierte Bochner-integrierbare Funktion ist auch Birkhoff-integrierbar und die entsprechenden Integralwerte stimmen dann überein. Es gibt jedoch Birkhoff-integrierbare Funktionen, die nicht Bochner-integrierbar sind.
• Wird die Definition des Riemann-Integrals direkt mittels Riemann-Summen auf banachraumwertige Funktionen verallgemeinert, so ist im Allgemeinen nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion auch Bochner-integrierbar, aber dafür Birkhoff-integrierbar.
• Ein Beispiel für eine nicht Bochner-integrierbare aber Birkhoff-integrierbare (sogar Riemann-integrierbare) Funktion ist:

Sei ${\displaystyle \textstyle \;\ell ^{2}\left([0,1]\right):=\left\{(x_{i})_{i\in [0,1]}\in \mathbb {R} ^{[0,1]}\;{\Big |}\;\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}<\infty \right\},円}${\displaystyle \textstyle \;\ell ^{2}\left([0,1]\right):=\left\{(x_{i})_{i\in [0,1]}\in \mathbb {R} ^{[0,1]}\;{\Big |}\;\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}<\infty \right\},円} versehen mit der Norm ${\displaystyle \textstyle \|(x_{i})_{i\in [0,1]}\|:={\sqrt {\left(\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}\right)}}}${\displaystyle \textstyle \|(x_{i})_{i\in [0,1]}\|:={\sqrt {\left(\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}\right)}}}, siehe allgemeiner ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}-Raum und ${\displaystyle \textstyle f\colon [0,1]\to \ell ^{2}\left([0,1]\right);,円x\mapsto \chi _{\{x\}}}${\displaystyle \textstyle f\colon [0,1]\to \ell ^{2}\left([0,1]\right);,円x\mapsto \chi _{\{x\}}}, wobei das Bild von ${\displaystyle \textstyle x}${\displaystyle \textstyle x} unter ${\displaystyle \textstyle f}${\displaystyle \textstyle f} gerade die Charakteristische Funktion von ${\displaystyle \textstyle x}${\displaystyle \textstyle x} ist.

${\displaystyle \textstyle f}${\displaystyle \textstyle f} ist nicht Bochner-integrierbar, denn sonst wäre ${\displaystyle \textstyle f}${\displaystyle \textstyle f} auch ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-messbar. Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber, dass ${\displaystyle \textstyle f}${\displaystyle \textstyle f} nicht ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-messbar ist, denn ${\displaystyle \textstyle f\left([0,1]\right)}${\displaystyle \textstyle f\left([0,1]\right)} ist nicht ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-fast überall separabel. Das Riemann-Integral und damit auch das Birkhoff-Integral von ${\displaystyle \textstyle f}${\displaystyle \textstyle f} ist ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {0}}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ;,円x\mapsto 0}${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {0}}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ;,円x\mapsto 0}.

• Jede Birkhoff-integrierbare Funktion ist Pettis-integrierbar.

• Das Birkhoff-Integral ist linear. Für zwei Birkhoff-integrierbare Funktionen ${\displaystyle \textstyle f,g\colon \Omega \to B}${\displaystyle \textstyle f,g\colon \Omega \to B} und ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} } ist auch ${\displaystyle \alpha f+\beta g}${\displaystyle \alpha f+\beta g} Birkhoff-integrierbar und es gilt:

${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha f+\beta g,円{\rm {d}}\mu =\alpha \int _{\Omega }f,円{\rm {d}}\mu +\beta \int _{\Omega }g,円{\rm {d}}\mu }${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha f+\beta g,円{\rm {d}}\mu =\alpha \int _{\Omega }f,円{\rm {d}}\mu +\beta \int _{\Omega }g,円{\rm {d}}\mu }.

• Für die Birkhoff-Integrierbarkeit von ${\displaystyle \textstyle f\colon \Omega \to B}${\displaystyle \textstyle f\colon \Omega \to B} gibt es eine relativ neue äquivalente Charakterisierung, siehe M. Potyrala:

${\displaystyle f}${\displaystyle f} ist genau dann Birkhoff-integrierbar mit ${\displaystyle \textstyle x=\int _{\Omega }f,円{\rm {d}}\mu }${\displaystyle \textstyle x=\int _{\Omega }f,円{\rm {d}}\mu } wenn gilt

${\displaystyle \forall ,円\varepsilon >0,円\exists ,円}${\displaystyle \forall ,円\varepsilon >0,円\exists ,円} eine abzählbare ${\displaystyle \textstyle \mu }${\displaystyle \textstyle \mu }-Partition ${\displaystyle \textstyle \Gamma :f}${\displaystyle \textstyle \Gamma :f} ist unbedingt summierbar unter ${\displaystyle \textstyle \Gamma }${\displaystyle \textstyle \Gamma } und ${\displaystyle \textstyle \;\;\sup {\Big \{},円\|y-x\|,円{\Big |},円y\in \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M),円{\Big \}}<\varepsilon }${\displaystyle \textstyle \;\;\sup {\Big \{},円\|y-x\|,円{\Big |},円y\in \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M),円{\Big \}}<\varepsilon }.

• Es sei ${\displaystyle \textstyle D}${\displaystyle \textstyle D} ein weiterer Banachraum, ${\displaystyle f\colon \Omega \to B}${\displaystyle f\colon \Omega \to B} Birkhoff-integrierbar und ${\displaystyle \textstyle T\in L(B,D)}${\displaystyle \textstyle T\in L(B,D)} ein stetiger linearer Operator. Dann ist die Verkettung ${\displaystyle \textstyle T\circ f\colon \Omega \to D}${\displaystyle \textstyle T\circ f\colon \Omega \to D} eine Birkhoff-integrierbare Funktion und es gilt:

${\displaystyle T\left(\int _{\Omega }f\mathrm {d} \mu \right)=\int _{\Omega }T\circ f\mathrm {d} \mu }${\displaystyle T\left(\int _{\Omega }f\mathrm {d} \mu \right)=\int _{\Omega }T\circ f\mathrm {d} \mu }.

• Jürgen Friedrich: Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration. Diplomica Verlag, Hamburg 2013, S. 28–46, ISBN 978-3-8428-4043-0.
• Garrett Birkhoff: Integration of Functions with Values in a Banach Space. In: Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 38, No. 2(1935), S. 357–378.
• M. Potyrala: Some Remarks about Birkhoff and Riemann-Lebesgue Integrability of Vector valued Functions. In: Tatra Mountains Mathematical Publications, 35(2007), S. 97–106.

• Integralbegriff
• Maßtheorie
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