Bernoullische Annahmen

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Die Bernoullischen Annahmen sind Vereinfachungen der physikalischen Balkentheorie, die sich als Teilgebiet der Technischen Mechanik mit dem Verhalten belasteter Balken beschäftigt. Sie werden auch als Bernoulli-Hypothese[1] oder Bernoullische Hypothese[2] oder Normalenhypothese von Bernoulli[3] bezeichnet und sind benannt nach Jakob I Bernoulli, von dem sie aufgestellt und dann in die Theorie übertragen wurden.

Inhalt der Annahmen

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Vorausgesetzt wird, dass der Balken schlank ist. Seine Länge ist wesentlich größer als seine Querschnitts abmessungen.

Bernoulli geht von einem schubstarren Balken G ⋅ A ~ = ∞ {\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty } {\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty } aus. Dabei steht G {\displaystyle G} {\displaystyle G} für das Schubmodul, A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} {\displaystyle {\tilde {A}}} für die Querschnittsfläche. Es tritt also ausschließlich Biegung auf und die Schubverformung hat keinen weiteren Einfluss.[4]

1. Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben der Querschnitte

Balkenquerschnitte, die vor der Verbiegung senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Verbiegung senkrecht auf der deformierten Balkenachse.[4] (Aus dem Winkelerhalt folgt, dass Schubstarrheit G ⋅ A ~ = ∞ {\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty } {\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty } gefordert wird.)

2. Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben der Querschnitte

Die Querschnitte bleiben auch nach der Verbiegung in sich eben und verwölben sich nicht.[4] (Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht folgt die Forderung nach Schubstarrheit G ⋅ A ~ = ∞ {\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty } {\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty }.)

Hauptartikel: Balkentheorie

In der schubstarren Balkentheorie 1. Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

  • d V ( x ) d x = − q ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)}[5]
  • d M ( x ) d x = V ( x ) + m ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=V(x)+m(x)} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=V(x)+m(x)}[5]
  • d φ ( x ) d x = − [ M ( x ) E ⋅ I ( x ) + κ e ( x ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]}[5]
  • d w ( x ) d x = φ ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)}

mit

  • m(x) dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit[5] )
  • φ(x) der Verdrehung
  • κe(x) der eingeprägten Krümmung
  • w(x) der Durchbiegung.

Einzelnachweise

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  1. ↑ Script, Kapitel 3.2 Grundgleichungen der geraden Biegung, Lehrstuhl für Baustatik, Universität Siegen. In: Bau.Uni-Siegen.de. Abgerufen im Juni 2021
  2. ↑ Bernoullische Hypothese, Beuth Verlag GmbH. In: Baulexikon.Beuth.de. Abgerufen im Juni 2021
  3. ↑ Baustatik 1 - Normalenhypothese von Bernoulli. examio GmbH. In: Ingenieurkurse.de. Abgerufen im Juni 2021
  4. ↑ a b c Christian Spura: Herleitung der Euler-Bernoulli-Balkentheorie. In: Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli. essentials. Seiten 17–18. 23. Februar 2019. doi:10.1007/978-3-658-25216-8_3 , Herausgeber Springer Vieweg, Wiesbaden. Print ISBN 978-3-658-25215-1, Online ISBN 978-3-658-25216-8. In: Link.Springer.com
  5. ↑ a b c d e Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO LVA-Nr 202.065. Hrsg.: TU Verlag. SS2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke (520 Seiten, Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien [abgerufen am 8. September 2016]).  Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien (Memento des Originals vom 13. März 2016 im Internet Archive )  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1 @2 Vorlage:Webachiv/IABot/www.grafischeszentrum.com
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