Satz von Schilder

Der Satz von Schilder ist ein Theorem aus der Theorie der großen Abweichungen (englisch Large Deviation Theory). Das Theorem besagt, dass eine klein-skalierte Brownsche Bewegung das Prinzip der großen Abweichungen erfüllt und somit wesentlich von ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0} verschieden ist.^[1]

Eine Verallgemeinerung des Satzes ist der Satz von Freidlin-Wentzell.

Sei ${\displaystyle B_{t\in [0,1]}}${\displaystyle B_{t\in [0,1]}} eine standard Brownsche Bewegung auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}. Weiter bezeichne ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}:={\mathcal {C}}_{0}([0,1],\mathbb {R} ^{d})}${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}:={\mathcal {C}}_{0}([0,1],\mathbb {R} ^{d})} den Raum der stetigen Funktionen ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d}} mit ${\displaystyle f(0)=0}${\displaystyle f(0)=0} und ausgestattet mit der Topologie der Supremumsnorms. Seien ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })} die von dem skalierten Prozess ${\displaystyle B_{\varepsilon }(t):={\sqrt {\varepsilon }}B_{t}}${\displaystyle B_{\varepsilon }(t):={\sqrt {\varepsilon }}B_{t}} induzierten Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}.

Mit ${\displaystyle H_{1}}${\displaystyle H_{1}} bezeichne man den Cameron-Martin-Raum in ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}} bezüglich der Wiener-Maßes, d. h. den Raum aller absolut stetigen funktionen mit ${\displaystyle f(0)=0}${\displaystyle f(0)=0} mit quadratisch-integrierbarer Ableitung ${\displaystyle H_{1}:=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d},f(0)=0,f'\in L^{2}([0,1])\}}${\displaystyle H_{1}:=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d},f(0)=0,f'\in L^{2}([0,1])\}}

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })} wenn ${\displaystyle \varepsilon \to 0}${\displaystyle \varepsilon \to 0} das Prinzip der großen Abweichungen mit guter Rate-Funktion

${\displaystyle I_{B}(f)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}|f'(t)|^{2},円\mathrm {d} t&f\in H_{1}\\\infty &f\not \in H_{1}\ \end{cases}}}${\displaystyle I_{B}(f)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}|f'(t)|^{2},円\mathrm {d} t&f\in H_{1}\\\infty &f\not \in H_{1}\ \end{cases}}}.^[2]

Das heißt für alle offenen ${\displaystyle O\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}${\displaystyle O\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])} und geschlossenen Mengen ${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}

${\displaystyle -\inf _{f\in O}I_{B}(f)\leq \liminf _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(O)\leq \limsup _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf _{f\in C}I_{B}(f)}${\displaystyle -\inf _{f\in O}I_{B}(f)\leq \liminf _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(O)\leq \limsup _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf _{f\in C}I_{B}(f)}

1. ↑ Amir Dembo, Ofer Zeitouni: Large Deviations Techniques and Applications. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-03311-7 . 
2. ↑ Amir Dembo, Ofer Zeitouni: Large Deviations Techniques and Applications. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. S. 185, doi:10.1007/978-3-642-03311-7 . 

• Satz (Mathematik)
• Stochastischer Prozess
• Stochastik