Newtonsche Ungleichungen

In der Mathematik sind die newtonschen Ungleichungen Ungleichungen, die nach Isaac Newton, dem Verfasser der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, benannt wurden.

Seien ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} reelle Zahlen und seien ${\displaystyle \sigma _{k}}${\displaystyle \sigma _{k}} die ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-ten elementarsymmetrischen Polynome in ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}, definiert durch

${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{S\subseteq \{1,\dotsc ,n\} \atop \#S=k}\ \prod _{i\in S}a_{i}\ .}${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{S\subseteq \{1,\dotsc ,n\} \atop \#S=k}\ \prod _{i\in S}a_{i}\ .}

Es gelten beispielsweise ${\displaystyle \sigma _{1}=a_{1}+\dotsb +a_{n}}${\displaystyle \sigma _{1}=a_{1}+\dotsb +a_{n}} und ${\displaystyle \sigma _{n}=a_{1}\dotsm a_{n}}${\displaystyle \sigma _{n}=a_{1}\dotsm a_{n}}.

Dann erfüllen die elementaren symmetrischen Mittel, definiert durch

${\displaystyle S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom {n}{k}}},}${\displaystyle S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom {n}{k}}},}

die Ungleichungen

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}}${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}}

für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle 0<k<n}${\displaystyle 0<k<n}.

Falls alle ${\displaystyle a_{i}}${\displaystyle a_{i}} ungleich Null sind, dann gilt Gleichheit genau dann, falls alle ${\displaystyle a_{i}}${\displaystyle a_{i}} gleich sind. Es sei bemerkt, dass ${\displaystyle S_{1}}${\displaystyle S_{1}} das arithmetische Mittel und ${\displaystyle S_{n}}${\displaystyle S_{n}} die ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-te Potenz des geometrischen Mittels der ${\displaystyle a_{i}}${\displaystyle a_{i}} ist.

• Maclaurin-Ungleichung

• Isaac Newton: Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber. 1707. 
• D.S. Bernstein Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2009 Princeton) p. 55
• C. Maclaurin: A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra. In: Philosophical Transactions. 36. Jahrgang, Nr. 407–416, 1729, S. 59–96, doi:10.1098/rstl.1729.0011 (zenodo.org [PDF]). 
• J.N. Whiteley: On Newton's Inequality for Real Polynomials. In: The American Mathematical Monthly. 76. Jahrgang, Nr. 8. The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8, 1969, S. 905–909, doi:10.2307/2317943 . 
• Constantin Niculescu: A New Look at Newton's Inequalities. In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 1. Jahrgang, Nr. 2, 2000 (emis.de). 

• Ungleichung
• Isaac Newton

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