Kunita-Watanabe-Ungleichung

In der Stochastik bezeichnet die Ungleichung von Kunita-Watanabe eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Integrale von stochastischen Prozessen. Die Ungleichung wurde 1967 von Hiroshi Kunita und Shinzō Watanabe bewiesen.^[1]

Seien ${\displaystyle M}${\displaystyle M} und ${\displaystyle N}${\displaystyle N} stetige lokale Martingale und ${\displaystyle H}${\displaystyle H}, ${\displaystyle K}${\displaystyle K} messbare Prozesse. Dann gilt für ${\displaystyle A\subseteq [0,\infty ]}${\displaystyle A\subseteq [0,\infty ]}

${\displaystyle \int \limits _{A}\left|H_{s}\right|\left|K_{s}\right|\left|\mathrm {d} \langle M,N\rangle _{s}\right|\leq {\sqrt {\int \limits _{A}H_{s}^{2},円\mathrm {d} \langle M\rangle _{s}}}{\sqrt {\int \limits _{A}K_{s}^{2},円\mathrm {d} \langle N\rangle _{s}}}}${\displaystyle \int \limits _{A}\left|H_{s}\right|\left|K_{s}\right|\left|\mathrm {d} \langle M,N\rangle _{s}\right|\leq {\sqrt {\int \limits _{A}H_{s}^{2},円\mathrm {d} \langle M\rangle _{s}}}{\sqrt {\int \limits _{A}K_{s}^{2},円\mathrm {d} \langle N\rangle _{s}}}},

wobei die spitzen Klammern die quadratische Variation bezeichnen und das Integral im Sinne eines Stieltjes-Integral zu verstehen ist.

• L. Rogers, David Williams: Diffusions, Markov Processes and Martingales, Band 2: Ito Calculus, Cambridge UP 2000
• Richard Durrett: Stochastic Calculus. An Introduction, CRC Press 1996

1. ↑ Kunito, Watanabe, On square integrable Martingales, Nagoya Math. J., Band 30, 1967, S. 209–245, Project Euclid

• Ungleichung (Stochastik)