AC (Komplexitätsklasse)

In der Komplexitätstheorie, speziell der Schaltkreiskomplexität, ist AC eine Komplexitätsklasse und ACⁱ eine Hierarchie von Komplexitätsklassen. Für jedes ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }${\displaystyle i\in \mathbb {N} } enthält ACⁱ die formalen Sprachen, die von Schaltkreisfamilien mit Tiefe ${\displaystyle O(\log ^{i}n)}${\displaystyle O(\log ^{i}n)}, polynomieller Größe, und Und- und Oder- mit unbeschränktem Fan-In und eventuell Nicht-Gattern an den Eingängen erkannt werden. Die Klasse AC ist dann definiert als

${\displaystyle {\mbox{AC}}=\bigcup _{i\geq 0}{\mbox{AC}}^{i}.}${\displaystyle {\mbox{AC}}=\bigcup _{i\geq 0}{\mbox{AC}}^{i}.}

Der Name AC wurde in Analogie zu NC gewählt, wobei A für „alternierend" steht, was sich sowohl auf die Alternation zwischen Und- und Oder-Gattern in AC-Schaltkreisen als auch auf alternierende Turingmaschinen bezieht.

Die kleinste AC-Klasse ist AC⁰, in der Sprachen liegen, die von Schaltkreisen konstanter Tiefe erkannt werden. Es gilt ${\displaystyle AC^{0}\subsetneq AC^{1}}${\displaystyle AC^{0}\subsetneq AC^{1}}; ansonsten ist unbekannt, ob die Hierarchie echt ist.

Für jede natürliche Zahl p bezeichnet ACⁱ[p] oder ACCⁱ[p] die Klasse der Probleme, die von ACⁱ-Schaltkreisen plus Modulo p-Gattern erkannt werden. Ein Modulo p-Gatter gibt dabei genau dann 1 aus, wenn die Zahl der Eingaben mit Wert 1 nicht durch p teilbar ist. Die Klassen ACC ⁱ sind ähnlich definiert und erlauben beliebige Modulo-Gatter.

Die NC-Klassen sind ähnlich definiert, erlauben aber nur Schaltkreisfamilien, deren Gatter konstanten Fan-In haben. Die TC-Klassen erweitern die Definition von AC durch Majority-Gatter. Für jedes i gilt:

${\displaystyle {\mbox{NC}}^{i}\subseteq {\mbox{AC}}^{i}\subseteq {\mbox{AC}}^{i}[p]\subseteq {\mbox{ACC}}^{i}\subseteq {\mbox{TC}}^{i}\subseteq {\mbox{NC}}^{i+1}.}${\displaystyle {\mbox{NC}}^{i}\subseteq {\mbox{AC}}^{i}\subseteq {\mbox{AC}}^{i}[p]\subseteq {\mbox{ACC}}^{i}\subseteq {\mbox{TC}}^{i}\subseteq {\mbox{NC}}^{i+1}.}

Daraus folgt NC = AC = TC = ACC.

• Stasys Jukna: Boolean function complexity. Advances and frontiers. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24507-7. 
• Heribert Vollmer: Introduction to Circuit Complexity: a Uniform Approach. Springer Verlag, 1999, ISBN 3-540-64310-9. 

• AC. In: Complexity Zoo. (englisch)

• Komplexitätsklasse