Gebrochen rationale Funktion
Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.") von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0}{b_m X^m + b_{m-1} X^{m-1} + \cdots + b_1 X + b_0}}
{\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}
n ist der Grad im Zähler, m ist der Grad im Nenner. Die Koeffizienten sind reelle Zahlen.
Anhand des Funktionsterms lassen sich Aussagen zum Aussehen des Schaubildes machen.
1. Symmetrie
Eine Funktion ist gerade/ungerade wenn alle Exponenten der Funktion gerade/ungerade sind.
{\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}
{\displaystyle {\frac {gerade}{gerade}}} oder {\displaystyle {\frac {ungerade}{ungerade}}}
Symmetrisch zur y-Achse
{\displaystyle {\frac {gerade}{ungerade}}} oder {\displaystyle {\frac {ungerade}{gerade}}}
Punksymmetrisch zum Ursprung
Ansonsten ist keine Symmetrie aus der Gleichung erkennbar.
Generell gilt:
Nullstellen von p -> Nullstellen von f
Nullstellen von q -> Polstellen von f
Ausnahme: Nullstellen die sowohl zu p als auch zu q gehören.
- Zugehöriger Linearfaktor kommt im Nenner öfter vor als im Zähler
- => an der Stelle ist eine Polstelle
- Zugehöriger Linearfaktor im Nenner nicht öfter als im Zähler
- => an der Stelle ist eine stetig behebbare Definitionslücke
3. Asymptote
Durch Teilen von p durch q lässt sich eine ganzrationale Funktion g abspalten:
f(x) = p(x) : q(x) = g(x) + r(x)
r(x) = gebrochen rational; g(x) = Funktionsgleichung der Asymptote
Abspalten nur bei 3. und 4. notwendig.
- {\displaystyle n<m} => x-Achse ist Asymptote: {\displaystyle g(x)=0}
- {\displaystyle n=m} => waagrechte Asymptote: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.") von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle g(x) =a_n : b_n}
- {\displaystyle n=m+1} => schräge Asymptote: {\displaystyle g(x)=mx+c;m\neq 0}
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.") von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle n > m; n \ne m +1} => ganzrationale Näherungsfunktion