Hookesches Gesetz

Das Hookesche Gesetz (nach Sir Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist (linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten ist z.B. typisch für Metalle bei kleinen Belastungen sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik).

Andere Materialien verhalten sich plastisch bzw. duktil (z.B. Metalle nach Überschreiten der Fließgrenze) oder nicht-linear elastisch (z.B. Gummi).

Für einen prismatischen Körper der Länge ${\displaystyle l_{0}}${\displaystyle l_{0}} und der Querschnittsfläche ${\displaystyle A}${\displaystyle A} gilt demzufolge unter einachsiger Zug- oder Druckbelastung entlang der x-Achse:

${\displaystyle \sigma _{x}=E\cdot \varepsilon _{x}}${\displaystyle \sigma _{x}=E\cdot \varepsilon _{x}}

Die Proportionalitätskonstante ${\displaystyle E}${\displaystyle E} heißt Elastizitätsmodul. Mit der Spannung

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {F_{x}}{A}}}${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {F_{x}}{A}}}   und der Dehnung    ${\displaystyle \quad \varepsilon _{x}={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}${\displaystyle \quad \varepsilon _{x}={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}

ergibt sich die Darstellung

${\displaystyle F_{x}={\frac {E\cdot A}{l_{0}}}\cdot \Delta l,円.}${\displaystyle F_{x}={\frac {E\cdot A}{l_{0}}}\cdot \Delta l,円.}

Das hookesche Gesetz gilt für einen großen Dehnungsbereich bei Zug- und Druckfedern. In diesem Spezialfall einer eindimensionalen linearen elastischen Deformation nennt man die Proportionalitätskonstante Federkonstante ${\displaystyle D}${\displaystyle D}, und der Zusammenhang zwischen der Federkraft ${\displaystyle F}${\displaystyle F} und der Längenänderung ${\displaystyle \Delta l}${\displaystyle \Delta l} kann dann in der einfachen Form

${\displaystyle F=D\cdot \Delta l}${\displaystyle F=D\cdot \Delta l}

dargestellt werden.

Die Verlängerung einer Feder durch eine Gewichtskraft ${\displaystyle G}${\displaystyle G} ist also proportional zu dieser: Eine Schraubenfeder, die sich bei einer Zugkraft von einem Newton um einen Zentimeter ausdehnt, würde sich bei einer Zugkraft von zwei Newton demzufolge auch um zwei Zentimeter ausdehnen.

Diese Eigenschaft ist maßgeblich zum Beispiel für die Verwendung von Metallfedern als Kraftmesser und in Waagen. Bei anderen Materialien - wie zum Beispiel Gummi - ist der Zusammenhang zwischen einwirkender Kraft und Ausdehnung nicht proportional.

Das hookesche Gesetz findet nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Molekularphysik Anwendung. Hierbei beschreibt die Federkonstante, die in diesem Fall Kraftkonstante genannt wird, die Stärke einer chemischen Bindung.

Die in einer Feder durch Dehnung steckende Energie kann folgendermaßen berechnet werden. Man führt die Relativkoordinate s ein, die die Auslenkung aus der Ruhelage (Gleichgewichtslage) beschreibt. Die Kraft ist proportional zur Auslenkung, nämlich ${\displaystyle {\vec {F}}=-D{\vec {s}}}${\displaystyle {\vec {F}}=-D{\vec {s}}}. Durch Integration der Kraft erhält man nun die Dehnungsengergie:

${\displaystyle E_{pot}=-\int \limits _{0}^{\vec {s}}{{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}'}=-\int \limits _{0}^{\vec {s}}{\left({-D{\vec {s}}'}\right)\cdot d{\vec {s}}'}=D\int \limits _{0}^{\vec {s}}{{\vec {s}}'\cdot d{\vec {s}}'}={\frac {1}{2}}Ds^{2}}${\displaystyle E_{pot}=-\int \limits _{0}^{\vec {s}}{{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}'}=-\int \limits _{0}^{\vec {s}}{\left({-D{\vec {s}}'}\right)\cdot d{\vec {s}}'}=D\int \limits _{0}^{\vec {s}}{{\vec {s}}'\cdot d{\vec {s}}'}={\frac {1}{2}}Ds^{2}}

Dies ist das für viele Modellrechnungen wichtige harmonische Potential (proportional zu ${\displaystyle s^{2}}${\displaystyle s^{2}}).

Im allgemeinen Fall wird das hookesche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung (4. Stufe!) ausgedrückt:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}={\tilde {\tilde {C}}}{\tilde {\varepsilon }}}${\displaystyle {\tilde {\sigma }}={\tilde {\tilde {C}}}{\tilde {\varepsilon }}},

mit dem Elastizitätstensor ${\displaystyle {\tilde {\tilde {C}}}}${\displaystyle {\tilde {\tilde {C}}}}, der die elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet. Da der Tensor ${\displaystyle {\tilde {\tilde {C}}}}${\displaystyle {\tilde {\tilde {C}}}} 81 Komponenten ${\displaystyle C_{ijkl},\;i,j,k,l=1\ldots 3}${\displaystyle C_{ijkl},\;i,j,k,l=1\ldots 3} aufweist, ist er schwierig zu handhaben. Aufgrund der Symmetrie von Verzerrungs- und Spannungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten jedoch auf 36. Damit lässt sich das hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die elastischen Konstanten in einer ${\displaystyle 6\times 6}${\displaystyle 6\times 6}-Matrix, sowie die Verzerrung und die Spannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden (Voigtsche Notation):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{41}&C_{42}&C_{43}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{51}&C_{52}&C_{53}&C_{54}&C_{55}&C_{56}\\C_{61}&C_{62}&C_{63}&C_{64}&C_{65}&C_{66}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{pmatrix}}.}${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{41}&C_{42}&C_{43}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{51}&C_{52}&C_{53}&C_{54}&C_{55}&C_{56}\\C_{61}&C_{62}&C_{63}&C_{64}&C_{65}&C_{66}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{pmatrix}}.}

Aus energetischen Überlegungen ergibt sich, dass auch diese ${\displaystyle 6\times 6}${\displaystyle 6\times 6}-Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl der unabhängigen ${\displaystyle C_{ij},\;i,j=1\ldots 6}${\displaystyle C_{ij},\;i,j=1\ldots 6} (elastische Konstanten) reduziert sich damit weiter auf maximal 21.

Die maximal sechs unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden häufig in der folgenden Weise auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt:

${\displaystyle {\begin{matrix}&\epsilon _{xx}:=\varepsilon _{x},,円\;\epsilon _{yy}:=\varepsilon _{y},,円\;\epsilon _{zz}:=\varepsilon _{z},,円\;\epsilon _{xy}=\epsilon _{yx}:={\sqrt {2}}\gamma _{xy},,円\\&\epsilon _{yz}=\epsilon _{zy}:={\sqrt {2}}\gamma _{xz},,円\;\epsilon _{zx}=\epsilon _{xz}:={\sqrt {2}}\gamma _{yz},,円\end{matrix}}}${\displaystyle {\begin{matrix}&\epsilon _{xx}:=\varepsilon _{x},,円\;\epsilon _{yy}:=\varepsilon _{y},,円\;\epsilon _{zz}:=\varepsilon _{z},,円\;\epsilon _{xy}=\epsilon _{yx}:={\sqrt {2}}\gamma _{xy},,円\\&\epsilon _{yz}=\epsilon _{zy}:={\sqrt {2}}\gamma _{xz},,円\;\epsilon _{zx}=\epsilon _{xz}:={\sqrt {2}}\gamma _{yz},,円\end{matrix}}}

also

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } ^{T}=\left(\varepsilon _{x},,円\;\varepsilon _{y},,円\;\varepsilon _{z},,円\;{\sqrt {2}}\gamma _{xy},,円\;{\sqrt {2}}\gamma _{xz},,円\;{\sqrt {2}}\gamma _{yz}\right),,円}${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } ^{T}=\left(\varepsilon _{x},,円\;\varepsilon _{y},,円\;\varepsilon _{z},,円\;{\sqrt {2}}\gamma _{xy},,円\;{\sqrt {2}}\gamma _{xz},,円\;{\sqrt {2}}\gamma _{yz}\right),,円}

und analog

${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{T}=\left(\sigma _{x},,円\;\sigma _{y},,円\;\sigma _{z},,円\;{\sqrt {2}}\tau _{xy},,円\;{\sqrt {2}}\tau _{xz},,円\;{\sqrt {2}}\tau _{yz}\right),円.}${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{T}=\left(\sigma _{x},,円\;\sigma _{y},,円\;\sigma _{z},,円\;{\sqrt {2}}\tau _{xy},,円\;{\sqrt {2}}\tau _{xz},,円\;{\sqrt {2}}\tau _{yz}\right),円.}

Der Faktor ${\displaystyle {\sqrt {2}}}${\displaystyle {\sqrt {2}}} ist notwendig, um Übereinstimmung zwischen der hier eingeführten Matrix/Vektor-Darstellung Tensorgleichung und der Tensorgleichung ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}={\tilde {\tilde {C}}}{\tilde {\varepsilon }}}${\displaystyle {\tilde {\sigma }}={\tilde {\tilde {C}}}{\tilde {\varepsilon }}} herzustellen. (Statt ${\displaystyle {\sqrt {2}}}${\displaystyle {\sqrt {2}}} bei den Vektordarstellungen für sowohl Verzerrung als auch Spannung kann auch der Faktor 2 bei nur einem der beiden Vektoren verwendet werden.)

Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 auf 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich dann durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das hookesche Gesetz lässt sich dann darstellen in der Form

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}=L^{-1}{\bar {\sigma }}}${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}=L^{-1}{\bar {\sigma }}}, mit

${\displaystyle L^{-1}={\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\\cdot &1&-\nu &0&0&0\\\cdot &\cdot &1&0&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu \end{bmatrix}}}${\displaystyle L^{-1}={\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\\cdot &1&-\nu &0&0&0\\\cdot &\cdot &1&0&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu \end{bmatrix}}}, bzw.

${\displaystyle L={\frac {E}{1+\nu }}{\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &\cdot &{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &1&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &0&1&0\\\cdot &\cdot &\cdot &0&0&1\end{bmatrix}}}${\displaystyle L={\frac {E}{1+\nu }}{\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &\cdot &{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&0&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &1&0&0\\\cdot &\cdot &\cdot &0&1&0\\\cdot &\cdot &\cdot &0&0&1\end{bmatrix}}},

wobei E der Elastizitätsmodul (auch Young's modulus) und ${\displaystyle \nu }${\displaystyle \nu } die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. Für eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{E}}\sigma }${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{E}}\sigma }.

Das hookesche Gesetz wird nahezu ausschließlich in seiner klassischen Formulierung verwendet. Eine relativistisch invariante Formulierung wurde von Gron Tudor Jones kurz nach der Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie entwickelt. Motiviert wird dies durch das Bellsche Raumschiffparadoxon.

Schnell, Gross, Hauger: Technische Mechanik 2 (Elastostatik), Springer Verlag, ISBN 3-540-64147-5

• Konfiguration (Mechanik)
• Kontinuumsmechanik
• Verformung
• Spannungstensor

• http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hooke.html Interaktives Modell zum hookeschen Gesetz

• Feder (Technik)
• Mechanik