Quantengatter

Quantengatter sind die elementaren Operationen, die ein Quantencomputer auf seinen Qubits durchführen kann. Sie sind vergleichbar mit elektronischen Gattern, welche die elementaren Operationen eines klassischen Computers durchführen. Ein Quantengatter arbeitet jedoch mit quantenmechanischen Systemen wie dem Spin. Auch wenn ihr Name es suggeriert, stellen Quantengatter in der Regel keine physikalischen Bauelemente wie Transistoren dar. Ein Quantengatter ist vielmehr eine zeitlich steuerbare Wechselwirkung der Qubits untereinander oder mit der Umgebung.

Aus mathematischer Sicht ist ein Quantengatter eine unitäre Transformation ${\displaystyle U}${\displaystyle U}, welche auf den Zustand ${\displaystyle \Psi }${\displaystyle \Psi } der Qubits angewendet wird und den Zustand ${\displaystyle \Psi }${\displaystyle \Psi } erzeugt. Die Unitarität dieser Transformation folgt aus der Forderung, dass ein Quantengatter die Normierung der Wellenfunktion erhalten muss: ${\displaystyle |U\Psi |^{2}=|\Psi |^{2}}${\displaystyle |U\Psi |^{2}=|\Psi |^{2}}.

Um ${\displaystyle U}${\displaystyle U} als Matrix schreiben zu können, wählt man als Basiszustände üblicherweise gerade die Qubit-Zustände, die klassischen Zahlen entsprechen, für zwei Qubits also

${\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle .}${\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle .}

Ein Quantengatter, dass einfach die beiden Qubits miteinander vertauscht, hätte dann die Matrixdarstellung

${\displaystyle {\mathsf {SWAP}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\0円&0&1&0\0円&1&0&0\0円&0&0&1\end{pmatrix}}}${\displaystyle {\mathsf {SWAP}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\0円&0&1&0\0円&1&0&0\0円&0&0&1\end{pmatrix}}}

Für konkrete Berechnungen ist eine solche Matrixdarstellung nützlich. Um aber bei mehreren nacheinander auf das System angewendeten Quantengatter nicht die Übersicht zu verlieren, führt man analog zu den klassischen Logikgattern Schaltsymbole ein, die zu einem Quantenschaltkreis verbunden werden. Jedes Schaltsymbol entspricht darin einer unitären Operation.

Die gezeigten Graphen sollen die Blochsphäre für verschiedene Anfangs- und Endzustände darstellen, welche jeweils in einer anderen Farbe dargestellt sind. Dadurch kann man sich die Drehungen besser vorstellen. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen überlagerten Zustände können in dieser Darstellungsform allerdings nicht berücksichtigt werden.

Die physikalische Realisierung eines Quantengatters hängt selbstverständlich davon ab, wie das Qubit selbst physikalisch realisiert wird. In einer Ionenfalle festgehaltene Teilchen werden beispielsweise mit Hilfe von Photonen mit einem vorgegebenen Quantisierungszustand manipuliert.

Ein einzelnes Qubit mit den Zuständen ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle } kann rein formal stets als Spin-Zustand eines Spin-1⁄2-Teilchens geschrieben werden. Die Zustände können daher stets als Elemente auf der so genannten Blochsphäre darsgestellt werden. Ein Gatter, welches auf einem einzelnen Qubit arbeitet, kann dann formal als Rotation auf der Blochsphäre um einen bestimmten Winkel beschrieben werden.

Für Quantengatter, die auf zwei Qubits arbeiten, ist eine Wechselwirkung zwischen den fraglichen Qubits erforderlich. Bei Spin-Qubits kann dies unter anderem über die Austauschwechselwirkung geschehen. Atome in einer Ionenfalle könnten Photonen austauschen.

siehe auch: Liste der Quantengatter, Optimal Quantum Circuits for General Two-Qubit Gates

Quantengatter mit einem einzigen Eingang sind in der Lage ein einzelnes Qubit zu verändern. Dieses Qubit kann lediglich entweder logisch 1 oder logisch 0 darstellen. Das allein ist also kein Vorteil im Vergleich zu den bisherigen elektronischen Gattern. Die Phasenlage ist jedoch ein Indikator dafür, wie wahrscheinlich die jeweiligen Zustände sind. Man spricht hierbei davon, dass sich die beiden Zustände ${\displaystyle \left|0\right\rangle }${\displaystyle \left|0\right\rangle } und ${\displaystyle \left|1\right\rangle }${\displaystyle \left|1\right\rangle } überlagern und sich das Qubit in Superposition befindet. Beispielsweise sind bei einer Phasenverschiebung von 90° die Messwerte zu 50% logisch 1 und die anderen 50% der Messwerte logisch 0. Eine Rechenoperation auf ein solches Qubit wird daher auf den Zustand ${\displaystyle \left|0\right\rangle }${\displaystyle \left|0\right\rangle } und den Zustand ${\displaystyle \left|1\right\rangle }${\displaystyle \left|1\right\rangle } gleichzeitig angewendet.

Der Nachteil ist, dass bei einer Messung aufgrund des Kollaps der Wellenfunktion nur ein einzelnes mögliches Ergebnis zurückgeliefert wird. Ein brauchbares Ergebnis ist daher meistens nur durch mehrfaches Wiederholen der Rechenoperation und eine anschließende statistische Auswertung der Messergebnisse möglich. Wenn jedoch mit mehreren Qubits gleichzeitig gerechnet wird, kann man manchmal mit einem Trick, zum Beispiel der Quanten-Fouriertransformation, schon mit nur einer Berechnung an brauchbare Ergebnisse kommen.

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