Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\alpha }{\alpha \choose k}x^{k}}${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\alpha }{\alpha \choose k}x^{k}}

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } ganzzahlig, so bricht die Reihe nach dem Glied ${\displaystyle k=\alpha }${\displaystyle k=\alpha } ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}${\displaystyle (1+x)^{\alpha }} mit Entwicklungspunkt 0.

Newton entdeckt im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } und alle reellen ${\displaystyle x\in ]-1,,1円[}${\displaystyle x\in ]-1,,1円[} das Binom ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}${\displaystyle (1+x)^{\alpha }} darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe ${\displaystyle \alpha ,x\in {\mathbb {C} }}${\displaystyle \alpha ,x\in {\mathbb {C}}}; er bewies den Konvergenzradius 1 für die Reihe, falls ${\displaystyle \alpha \in {\mathbb {C} }\setminus {\mathbb {N} }}${\displaystyle \alpha \in {\mathbb {C}}\setminus {\mathbb {N}}} gilt.

${\displaystyle (1+x)^{2}={2 \choose 0}x^{0}+{2 \choose 1}x^{1}+{2 \choose 2}x^{2}=1+2x+x^{2}}${\displaystyle (1+x)^{2}={2 \choose 0}x^{0}+{2 \choose 1}x^{1}+{2 \choose 2}x^{2}=1+2x+x^{2}}

(ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)

${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{-1 \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}}${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{-1 \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}}

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{1/2 \choose k}x^{k}}${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{1/2 \choose k}x^{k}}

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