Diskussion:Eulerscher Polyedersatz

• Die Eulersche Polyederformel hat eigentlich nichts mit der Konvexität zu tun. Entscheidend ist, dass die Oberfläche homöomorph zur 2-Sphäre (Mathematik) ist (anschaulich gesagt: dass es keine "Löcher" gibt), siehe die mehr oder weniger unfertigen Artikel Homologietheorie, Euler-Charakteristik und CW-Komplex.
• Die Eulersche Polyederformel gibt es auch für plättbare Graphen, vgl. dort (mit 1 statt 2, wenn das Äußere nicht mitgezählt wird).--Gunther 12:12, 27. Feb 2005 (CET)

Vielleicht wäre im Umfeld der Homotopietheorie ein weiterführender Artikel "Eulercharakteristik" (oder ähnlich) sinnvoll, der dann auch den Spezialfall der Triangulierungen auf der 2-Sphäre behandelt. Unter dem Stichwort "Eulerscher Polyedersatz" würde ich aber eher das erwarten, was dort jetzt steht. (Gerne natürlich weiter ausgebaut :) --Big Kahuna 21:33, 1. Mär 2005 (CET)

Inwiefern ist der aktuelle Artikel Euler-Charakteristik da nicht ausreichend?--Gunther 21:51, 1. Mär 2005 (CET)

Oh sorry. Hatte mich beim Suchen wohl vertippt. Klar ist der ausreichend. Aber zur eigentlichen Frage: meiner Meinung nach ist das Nebeneinander der beiden Artikel so völlig ok. Und nach meinem Verständnis - ich bin übrigens kein Mathematiker, das kann also auch durchaus falsch sein - bezieht sich der 'Eulersche Polyedersatz' eben auf den genannten Spezialfall konvexer Polyeder. Oder irre ich mich da? Dann sollte der Artikel korrigiert werden! --Big Kahuna 22:04, 1. Mär 2005 (CET)

Nein, ich denke, Du irrst Dich da nicht. Ich meinte nur, dass man im Artikel darauf hinweisen sollte, dass das nicht die "wahre" Voraussetzung ist, und Links auf die Verallgemeinerung und den analogen Satz der Graphentheorie setzen sollte. Habe das getan und gleichzeitig den Verweis auf den Satz von Pick herausgenommen, der mit der Eulerschen Polyederformel nichts zu tun hat.--Gunther 23:36, 1. Mär 2005 (CET)

Ich habe mal versucht, einen klassichen, einigermaßen Oma-tauglichen Beweis zu schreiben, der keiner weiteren Vorkenntnisse bedarf. Da man selbst aber bei gerade mathematische Beweisen nicht das Maß aller Dinge ist, was die Verständlichkeit betrifft, wären ein paar Anmerkungen schön, was noch zu verbessern wäre.--Wrzlprmft 18:31, 14. Jan. 2007 (CET) Beantworten

Ich habe den Zusammenhang zwischen Polyedern und planaren Graphen aus den Beweisen ausgegliedert und ein wenig verbessert. Dennoch bin ich immer noch nicht wirklich zufrieden mit der Erklärung. Falls also jemand Hilfe weiß ... --Wrzlprmft 16:41, 21. Jan. 2007 (CET) Beantworten

Beim Gegenbeispiel (Bild links oben) heißt es: 34 Flächen, 13 Ecken und 36 Kanten. Wenn ich mich nicht vertan habe sind es 32 Flächen (8 Dreiecke, und 6 nach innen gehende Pyramiden mit je 4 Flächen). Dass der Eulersche Polyedersatz nicht gilt, liegt dann wohl daran, dass in der Mitte vier Ecken zu einer zusammenfallen? Mit drei Ecken mehr passt es wieder... Gruß, Holger

Das mit den Flächen stimmt. Keine Ahnung, ob mich vertippt oder verzählt habe. Wobei: Genaugenommen steht nirgendwo geschrieben, dass das Ding gewisse Symmetrien hat, womit die Rückseite ziemlich beliebig aussehen kann und somit auch diese Flächenzahl möglich wäre. (Was übrigens einer der Gründe ist, warum es sich hier um ein schlechtes Beispiel handelt. Falls also jemand ein besseres auf Lager hat ...)

Zumindest nach meiner Interpretation dieses Polyeders laufen in der Mitte 8 Ecken zusammen und außerdem fallen alle Kanten, die auf die mittlere Ecke zulaufen, mit anderen zusammen. Das führt dann dazu, dass man das Polyeder nicht auf eine Kugel zerren kann, da man diese inneren Treffpunkte zerreißen müsste. (Mir ist nicht absolut klar, was Du meintest, deswegen habe ich einfach meine Sichtweise aufgeschrieben.) --Wrzlprmft 18:50, 29. Jan. 2007 (CET) Beantworten

So habe ich mir das auch vorgestellt. Der Polyeder besteht aus 8 Dreiecksflächen und 6 nach innen gehenden Pyramiden mit quadratischer Grundfläche, deren Spitzen in der Mitte zusammenfallen. Demnach fallen 6 Ecken zusammen, und beim auseinanderziehen würden 5 neue Ecken entstehen. Außerdem enstehen 12 neue Kanten, denn von den 4*6=24 Kanten zu den Pyramidenspitzen fallen nicht mehr jeweils zwei zusammen. Die Flächenzahl bleibt und der Polyedersatz stimmt dann: 32Flächen + 18Ecken - 48Kanten = 2. (Ich war gestern nicht in der Lage 32 und 13 zusammenzuzählen, und kam deshalb auf die falsche Zahl zusammenfallender Ecken...) Gruß, Holger

Wie auch immer das Ding von hinten aussieht: es handelt sich nicht um ein konvexes, sondern um ein konkaves Polyeder. Über konkave Körper macht der Satz keine Aussage. --Big Kahuna 22:55, 30. Jan. 2007 (CET) Beantworten