Hilbertwürfel

Der Hilbertwürfel, auch Hilbertquader oder hilbertscher Fundamentalquader genannt, englisch Hilbert cube, ist ein nach dem Mathematiker David Hilbert benannter topologischer Raum, der den aus dem Anschauungsraum bekannten Würfel ${\displaystyle [0,1]^{3}}${\displaystyle [0,1]^{3}} auf unendlich viele Dimensionen verallgemeinert.

Der Hilbertwürfel ${\displaystyle W}${\displaystyle W} ist der Produktraum ${\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}}${\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}}, versehen mit der Produkttopologie. Das bedeutet im Einzelnen:

• ${\displaystyle W}${\displaystyle W} ist die Menge aller Folgen ${\displaystyle x=(\xi _{n})_{n}}${\displaystyle x=(\xi _{n})_{n}} mit ${\displaystyle 0\leq \xi _{n}\leq 1}${\displaystyle 0\leq \xi _{n}\leq 1} für alle ${\displaystyle n}${\displaystyle n}.
• Eine Folge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}${\displaystyle (x_{m})_{m}} in ${\displaystyle W}${\displaystyle W}, wobei ${\displaystyle x_{m}=(\xi _{n}^{(m)})_{n}}${\displaystyle x_{m}=(\xi _{n}^{(m)})_{n}}, konvergiert genau dann gegen ein ${\displaystyle x=(\xi _{n})_{n}\in W}${\displaystyle x=(\xi _{n})_{n}\in W}, wenn ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\xi _{n}^{(m)}=\xi _{n}}${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\xi _{n}^{(m)}=\xi _{n}} für alle Indizes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n\in \mathbb {N} }.

• Der Hilbertwürfel ist zusammenhängend und wegzusammenhängend, denn diese Eigenschaften übertragen sich auf Produkträume.
• Der Hilbertwürfel ist ein kompakter Hausdorffraum, wie unmittelbar aus dem Satz von Tychonoff folgt.
• Der Hilbertwürfel ist metrisierbar, eine die Topologie definierende Metrik ist durch

${\displaystyle d((\xi _{n})_{n},(\eta _{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\xi _{n}-\eta _{n}|}{2^{n}}}}${\displaystyle d((\xi _{n})_{n},(\eta _{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\xi _{n}-\eta _{n}|}{2^{n}}}}

gegeben.

• Wie alle kompakten, metrisierbaren Räume ist der Hilbertwürfel separabel und genügt dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom (und damit auch dem Ersten Abzählbarkeitsaxiom). Hierbei ist die Menge

${\displaystyle D=\{(\xi _{n})_{n}\in W;,円\xi _{n}\in \mathbb {Q} {\mbox{ und }}\xi _{n}=0{\mbox{ für fast alle }}n\}}${\displaystyle D=\{(\xi _{n})_{n}\in W;,円\xi _{n}\in \mathbb {Q} {\mbox{ und }}\xi _{n}=0{\mbox{ für fast alle }}n\}}

eine abzählbare dichte Teilmenge von ${\displaystyle W}${\displaystyle W}. Die Menge aller ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}}-Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus ${\displaystyle D}${\displaystyle D} ist dann eine abzählbare Basis.

• Die lebesgue'sche Überdeckungsdimension des Hilbertwürfels ${\displaystyle W}${\displaystyle W} ist unendlich, denn für jedes ${\displaystyle m}${\displaystyle m} enthält der Hilbertwürfel den zu ${\displaystyle [0,1]^{m}}${\displaystyle [0,1]^{m}} homöomorphen Unterraum ${\displaystyle W_{m}:=\{(\xi _{n})_{n}\in W;,円\xi _{n}=0{\mbox{ für alle }}n>m\}}${\displaystyle W_{m}:=\{(\xi _{n})_{n}\in W;,円\xi _{n}=0{\mbox{ für alle }}n>m\}}, muss daher eine Dimension ${\displaystyle \geq m}${\displaystyle \geq m} haben für alle ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }${\displaystyle m\in \mathbb {N} } und das heißt ${\displaystyle \dim W=\infty }${\displaystyle \dim W=\infty }.

Der Hilbertwürfel ${\displaystyle W}${\displaystyle W} ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis. ${\displaystyle W}${\displaystyle W} ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt:^[1]

• Jeder kompakte Hausdorffraum mit abzählbarer Basis ist homöomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum des Hilbertwürfels.

Auch polnische Räume lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt:^[2]

• Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die ${\displaystyle G_{\delta }}${\displaystyle G_{\delta }}-Mengen im Hilbertwürfel.
• Die kompakten, polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen im Hilbertwürfel.

Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}}${\displaystyle \ell ^{2}} der quadratsummierbaren Folgen. Definiere

${\displaystyle {\tilde {W}}:=\{(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2};,円|\xi _{n}|\leq {\tfrac {1}{n}}{\mbox{ für alle }}n\}}${\displaystyle {\tilde {W}}:=\{(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2};,円|\xi _{n}|\leq {\tfrac {1}{n}}{\mbox{ für alle }}n\}}.

Dann ist ${\displaystyle \textstyle \varphi \colon W\rightarrow {\tilde {W}},(\xi _{n})_{n}\mapsto ({\frac {2\xi _{n}-1}{n}})_{n}}${\displaystyle \textstyle \varphi \colon W\rightarrow {\tilde {W}},(\xi _{n})_{n}\mapsto ({\frac {2\xi _{n}-1}{n}})_{n}} ein Homöomorphismus, wenn man ${\displaystyle {\tilde {W}}}${\displaystyle {\tilde {W}}} mit der Teilraumtopologie der Normtopologie des Hilbertraums ${\displaystyle \ell ^{2}}${\displaystyle \ell ^{2}} versieht. Beachte, dass ${\displaystyle {\tilde {W}}}${\displaystyle {\tilde {W}}} keine Nullumgebung in ${\displaystyle \ell ^{2}}${\displaystyle \ell ^{2}} ist, denn ${\displaystyle {\tilde {W}}}${\displaystyle {\tilde {W}}} enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf ${\displaystyle {\tilde {W}}}${\displaystyle {\tilde {W}}} die relative Normtopologie und die relative schwache Topologie zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{2^{n}}}]}${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{2^{n}}}]} oder ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}]}${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}]} oder ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{n}}]}${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{n}}]}, versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre ${\displaystyle W}${\displaystyle W} selbst eine Teilmenge des Hilbertraums ${\displaystyle \ell ^{2}}${\displaystyle \ell ^{2}}. Die erste Variante wird in^[3] verwendet, dort spricht der Autor wegen der unterschiedlichen Seitenlängen auch nicht vom Hilbertwürfel, sondern vom Hilbertquader, ebenso in,^[4] wo die dritte Variante zur Definition herangezogen wird.

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581). 

1. ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 Kapitel 5.2, Satz 8.
2. ↑ Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Korollar auf S. 335.
3. ↑ Wolfgang Franz: Topologie. Band 1: Allgemeine Topologie (= Sammlung Göschen. Bd. 6181). 4., verbesserte und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-11-004117-0, S. 14.
4. ↑ Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21393-7, S. 199.

• Topologischer Raum
• David Hilbert als Namensgeber