Hilbert-Metrik

In der Geometrie sind Hilbert-Metriken gewisse Metriken auf beschränkten konvexen Teilmengen des euklidischen Raumes, die das Beltrami-Klein-Modell der hyperbolischen Geometrie verallgemeinern.

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} eine beschränkte, offene, konvexe Menge. Zu je zwei Punkten ${\displaystyle x,y\in \Omega }${\displaystyle x,y\in \Omega } gibt es dann eine eindeutige Gerade durch ${\displaystyle x,y}${\displaystyle x,y} und zwei eindeutige Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }${\displaystyle \partial \Omega }. Die beiden Schnittpunkte seien mit ${\displaystyle a,b}${\displaystyle a,b} bezeichnet, wobei ${\displaystyle a}${\displaystyle a} näher an ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und ${\displaystyle b}${\displaystyle b} näher an ${\displaystyle y}${\displaystyle y} liege. Der Hilbert-Abstand ${\displaystyle d_{H}}${\displaystyle d_{H}} ist dann auf ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } definiert durch die Formel

${\displaystyle d_{Hilb}(x,y):=\log {\frac {\parallel y-a\parallel .\parallel x-b\parallel }{\parallel x-a\parallel .\parallel y-b\parallel }}}${\displaystyle d_{Hilb}(x,y):=\log {\frac {\parallel y-a\parallel .\parallel x-b\parallel }{\parallel x-a\parallel .\parallel y-b\parallel }}}

für ${\displaystyle x\not =y}${\displaystyle x\not =y} und ${\displaystyle d_{Hilb}(x,x)=0}${\displaystyle d_{Hilb}(x,x)=0}.

Die Hilbert-Metrik stammt nicht immer von einer Riemannschen Metrik, aber immer von einer Finsler-Metrik definiert durch

${\displaystyle F(v_{x}):={\frac {d}{dt}}\mid _{t=0}d_{Hilb}(x,x+tv_{x})}${\displaystyle F(v_{x}):={\frac {d}{dt}}\mid _{t=0}d_{Hilb}(x,x+tv_{x})}

für ${\displaystyle x\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},v_{x}\in T_{x}\Omega \cong \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle x\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},v_{x}\in T_{x}\Omega \cong \mathbb {R} ^{n}}.

Im Folgenden seien ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}} zwei kompakte, konvexe Mengen und ${\displaystyle d_{1},d_{2}}${\displaystyle d_{1},d_{2}} die den beiden Mengen zugeordneten Hilbert-Metriken.

• Aus ${\displaystyle \Omega _{1}\subset \Omega _{2}}${\displaystyle \Omega _{1}\subset \Omega _{2}} folgt ${\displaystyle d_{1}(x,y)\geq d_{2}(x,y)}${\displaystyle d_{1}(x,y)\geq d_{2}(x,y)} für alle ${\displaystyle x,y\in \Omega _{1}}${\displaystyle x,y\in \Omega _{1}}.
• Wenn es eine lineare Abbildung ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} mit ${\displaystyle \Omega _{2}=A(\Omega _{1})}${\displaystyle \Omega _{2}=A(\Omega _{1})} gibt, dann ist ${\displaystyle d_{1}(x,y)=d_{2}(Ax,Ay)}${\displaystyle d_{1}(x,y)=d_{2}(Ax,Ay)} für alle ${\displaystyle x,y\in \Omega _{1}}${\displaystyle x,y\in \Omega _{1}}.

• Sei ${\displaystyle \Omega =\mathbb {D} ^{n}}${\displaystyle \Omega =\mathbb {D} ^{n}} die Einheitskugel und ${\displaystyle d_{Hyp}}${\displaystyle d_{Hyp}} der Abstand im Beltrami-Klein-Modell des hyperbolischen Raumes, dann gilt

${\displaystyle d_{Hilb}=2d_{Hyp}}${\displaystyle d_{Hilb}=2d_{Hyp}}.

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}}${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}} eine eigentliche, offene, konvexe Teilmenge des projektiven Raumes. (Eine Menge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}}${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}} heißt eigentlich, wenn es eine ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } enthaltende affine Karte ${\displaystyle \Omega \subset U\cong V\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \Omega \subset U\cong V\subset \mathbb {R} ^{n}} gibt, in der ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } einer beschränkten Menge ${\displaystyle \Omega ^{\prime }\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \Omega ^{\prime }\subset \mathbb {R} ^{n}} entspricht.) Man definiert dann die Hilbert-Metrik auf ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}}${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}} durch die Hilbert-Metrik auf ${\displaystyle \Omega ^{\prime }\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \Omega ^{\prime }\subset \mathbb {R} ^{n}}. Weil die Hilbert-Metrik invariant unter linearen Abbildungen ist, hängt die so definierte Metrik nicht von der Wahl der affinen Karte ab.

Innerhalb der projektiven Geometrie kann man ${\displaystyle d_{Hilb}(x,y)}${\displaystyle d_{Hilb}(x,y)} interpretieren als das Doppelverhältnis der vier Punkte ${\displaystyle a,x,b,y}${\displaystyle a,x,b,y} auf der durch ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und ${\displaystyle y}${\displaystyle y} bestimmten projektiven Geraden.

Die Gruppe der Kollineationen

${\displaystyle Coll(\Omega )=\left\{g\in PGL(n+1,\mathbb {R} ):g\Omega =\Omega \right\}}${\displaystyle Coll(\Omega )=\left\{g\in PGL(n+1,\mathbb {R} ):g\Omega =\Omega \right\}}

ist eine Lie-Gruppe und wirkt durch Isometrien der Hilbert-Metrik, sie lässt sich isomorph zu einer Untergruppe von ${\displaystyle SL(n+1,\mathbb {R} )}${\displaystyle SL(n+1,\mathbb {R} )} hochheben.

Die Hilbert-Metrik auf ${\displaystyle P(\mathbb {R} _{+}^{n})}${\displaystyle P(\mathbb {R} _{+}^{n})} wird in Birkhoffs Beweis des Satzes von Perron-Fronenius verwendet.

• Images des Maths: Géométrie de Hilbert

• Yves Benoist: A survey on divisible convex sets (PDF; 165 kB)
• Ludovic Marquis: Around groups in Hilbert geometry (PDF; 2,5 MB)

• Metrischer Raum
• David Hilbert als Namensgeber

• Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden