Ungleichung von Finsler

Die Ungleichung von Finsler (englisch inequality of Finsler) ist eine Ungleichung der Analytischen Zahlentheorie. Sie geht auf eine Arbeit des Mathematikers Paul Finsler aus dem Jahre 1945 zurück. Die Ungleichung knüpft direkt an das bertrandsche Postulat an, dessen inhaltliche Richtigkeit sie unmittelbar bestätigt.^{[1] [2] [3]}

Die finslersche Ungleichung liefert eine elementar beweisbare untere Abschätzung im Zusammenhang mit der Primzahlfunktion ${\displaystyle x\mapsto \pi (x),,円x\in \mathbb {R} }${\displaystyle x\mapsto \pi (x),,円x\in \mathbb {R} }:

Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}${\displaystyle n>1} gilt stets

${\displaystyle \pi (2n)-\pi (n)>{\frac {n}{3\cdot \ln(2n)}}}${\displaystyle \pi (2n)-\pi (n)>{\frac {n}{3\cdot \ln(2n)}}} .^{[A 1]}

In seiner Arbeit von 1951 legte Paul Finsler auch eine zweite Ungleichung vor, nämlich eine obere Abschätzung zur Primzahlfunktion:^{[1] [3]}

Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}${\displaystyle n>1} ist stets die Ungleichung

${\displaystyle \pi (2n)-\pi (n)<{\frac {7n}{5\cdot \ln(n)}}}${\displaystyle \pi (2n)-\pi (n)<{\frac {7n}{5\cdot \ln(n)}}}

erfüllt.

• Paul Finsler: Über die Primzahlen zwischen n und 2n. In: Festschrift zum 60. Geburtstag von Prof. Dr. Andreas Speiser . Orell Füssli, Zürich 1945, S. 118–122 (MR0014126). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Chapter VII: FUNCTIONS π(x), ψ(x),θ(x), AND THE SEQUENCE OF PRIME NUMBERS. Second printing of the 1996 original. Springer, Dordrecht 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7 (MR2186914). 

1. ↑ ^{a b} Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers., S. 158
2. ↑ József Sándor et al.: Handbook of Number Theory. I, Kapitel=VII.14. 2006, S. 243
3. ↑ ^{a b} Paul Finsler: Über die Primzahlen zwischen n und 2n. In: Festschrift zum 60. Geburtstag von Prof. Dr. Andreas Speiser, S. 118–122

1. ↑ Man beachte, dass die auf der linken Seite der Ungleichung ausgewiesene Differenz gleich der Anzahl der Primzahlen ${\displaystyle p}${\displaystyle p} mit ${\displaystyle n<p<2n}${\displaystyle n<p<2n} ist. Dabei verweist das rechts stehende Funktionssymbol ${\displaystyle \ln }${\displaystyle \ln } auf den natürlichen Logarithmus.

• Satz (Zahlentheorie)
• Ungleichung