Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Der Begriff Ereignis (auch: Zufallsereignis) bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine beliebige Menge von Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Bei einem Würfelwurf ist beispielsweise das Ereignis „eine gerade Zahl würfeln" die Menge {2,4,6} der entsprechenden Ergebnisse. Man spricht davon, dass ein Ereignis eintritt, wenn eines seiner Ergebnisse der Ausgang des Zufallsexperiments ist.

Das mit der Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } identische Ereignis bezeichnet man als sicheres Ereignis, da es immer eintritt. Im Gegensatz dazu bezeichnet man das mit der leeren Menge identische Ereignis als unmögliches Ereignis. Es tritt nie ein. Beim Beispiel des Würfelwurfs ist das sichere Ereignis die Menge {1,2,3,4,5,6} und das unmögliche Ereignis die Menge ${\displaystyle \varnothing }${\displaystyle \varnothing }.

Wenn das Ereignis ${\displaystyle A}${\displaystyle A} das Ereignis ${\displaystyle B}${\displaystyle B} in gleicher Weise nach sich zieht wie das Ereignis ${\displaystyle B}${\displaystyle B} das Ereignis ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, dann bezeichnet man die Ereignisse ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und ${\displaystyle B}${\displaystyle B} als gleich. ${\displaystyle A=B}${\displaystyle A=B}

Tritt mit dem Ereignis ${\displaystyle A}${\displaystyle A} stets auch das Ereignis ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ein, dann zieht das Ereignis ${\displaystyle A}${\displaystyle A} das Ereignis ${\displaystyle B}${\displaystyle B} nach sich, ${\displaystyle A\subseteq B}${\displaystyle A\subseteq B}, ${\displaystyle A}${\displaystyle A} bildet eine Untermenge von ${\displaystyle B}${\displaystyle B}.

Wenn das gleichzeitige Auftreten von zwei Ereignissen ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und ${\displaystyle B}${\displaystyle B} unmöglich ist, dann heißt es, die zwei Ereignisse schließen einander aus, ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }${\displaystyle A\cap B=\varnothing }.

Das zu dem Ereignis ${\displaystyle A}${\displaystyle A} komplementäre Ereignis ${\displaystyle {\bar {A}}}${\displaystyle {\bar {A}}} tritt genau dann ein, wenn das Ereignis ${\displaystyle A}${\displaystyle A} nicht eintritt und wird mit ${\displaystyle \Omega \backslash A}${\displaystyle \Omega \backslash A} bezeichnet. Speziell gilt:

${\displaystyle A\backslash B=A\cap {\bar {B}}}${\displaystyle A\backslash B=A\cap {\bar {B}}}

Tritt ein Ereignis ${\displaystyle C}${\displaystyle C} genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse ${\displaystyle A}${\displaystyle A} oder ${\displaystyle B}${\displaystyle B} eintritt, dann bezeichnet man das Ereignis ${\displaystyle C}${\displaystyle C} als die Summe der Ereignisse und benutzt dafür die Notation ${\displaystyle C=A\cup B}${\displaystyle C=A\cup B}. In Verallgemeinerung auf ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Ereignisse schreibt man:

${\displaystyle C=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}${\displaystyle C=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}

Wenn ein Ereignis ${\displaystyle C}${\displaystyle C} nur dann eintritt, wenn ein Ereignis ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, aber nicht gleichzeitig das Ereignis ${\displaystyle B}${\displaystyle B} eintritt, dann bezeichnet man das Ereignis ${\displaystyle C}${\displaystyle C} als Differenz der beiden Ereignisse ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und ${\displaystyle B}${\displaystyle B}.

Tritt ein Ereignis ${\displaystyle C}${\displaystyle C} genau dann ein, wenn sowohl das Ereignisse ${\displaystyle A}${\displaystyle A} als auch das Ereignis ${\displaystyle B}${\displaystyle B} eintritt, dann heißt ${\displaystyle C}${\displaystyle C} das Produkt der Ereignisse mit der Notation ${\displaystyle C=A\cap B}${\displaystyle C=A\cap B}. In Verallgemeinerung auf ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Ereignisse schreibt man:

${\displaystyle C=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}${\displaystyle C=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}

Die zwei Ereignisse ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und ${\displaystyle B}${\displaystyle B} heißen voneinander unabhängig, wenn

${\displaystyle P(A)=P(A|B),円}${\displaystyle P(A)=P(A|B),円}

gilt.

Die Ereignisse ${\displaystyle A_{i}(i=1,\dots ,n)}${\displaystyle A_{i}(i=1,\dots ,n)} bilden ein vollständiges System von Ereignissen (oder Ereignisssytem), wenn im Ergebnis eines Versuchs genau eines von ihnen eintreten muss.

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega \quad A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \quad i\neq j\quad i,j=1,\dots ,n}${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega \quad A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \quad i\neq j\quad i,j=1,\dots ,n}

Beispiel: Die Ereignisse ${\displaystyle A\cap B}${\displaystyle A\cap B}, ${\displaystyle {\bar {A}}\cap B}${\displaystyle {\bar {A}}\cap B}, ${\displaystyle A\cap {\bar {B}}}${\displaystyle A\cap {\bar {B}}}, ${\displaystyle {\overline {A\cup B}}}${\displaystyle {\overline {A\cup B}}} bilden ein solches vollständiges System von Ereignissen.

Sind ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots } zufällige Ereignisse, dann gelten die de Morganschen Formeln

${\displaystyle {\overline {\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{\bar {A}}_{i}}${\displaystyle {\overline {\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{\bar {A}}_{i}}

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}=\bigcap _{i=1}^{\infty }{\bar {A}}_{i}}${\displaystyle {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}=\bigcap _{i=1}^{\infty }{\bar {A}}_{i}}

Im Artikel Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Begriff Ereignis im Kontext mit den anderen Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie dargestellt.

• Rainer Schlittgen: Einführung in die Statistik. 9. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Oldenbourg 2000, ISBN 3-486-27446-5

• Stochastik