Konchoide von Dürer

Die Konchoide von Dürer, oder auch Muschellinie, ist eine spezielle ebene algebraische Kurve. Albrecht Dürer zeichnete sie erstmals in seinem Buch Underweysung der Messung (1. Buch, Abb. 38) und nannte sie „ein muschellini".

• Kartesische Koordinaten: ${\displaystyle (y^{2}+xy+ay-b^{2})^{2}=(b^{2}-y^{2})(y-x+a)^{2}}${\displaystyle (y^{2}+xy+ay-b^{2})^{2}=(b^{2}-y^{2})(y-x+a)^{2}}
• Parametergleichung (2 Kurvenäste):

${\displaystyle x(t)=t+{\frac {b(a-t)}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}\;,\ y(t)={\frac {bt}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}},}${\displaystyle x(t)=t+{\frac {b(a-t)}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}\;,\ y(t)={\frac {bt}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}},}

${\displaystyle x(t)=t-{\frac {b(a-t)}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}\;,\ y(t)=-{\frac {bt}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}.}${\displaystyle x(t)=t-{\frac {b(a-t)}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}\;,\ y(t)=-{\frac {bt}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}.}

(Der zweite Kurvenast wurde von Dürer nicht entdeckt.)

• Für ${\displaystyle a=0}${\displaystyle a=0} entartet die Kurve zu dem Geradenpaar ${\displaystyle y=\pm b/{\sqrt {2}}}${\displaystyle y=\pm b/{\sqrt {2}}} und einem Kreis ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=b^{2}}${\displaystyle x^{2}+y^{2}=b^{2}}.
• Für ${\displaystyle b=0}${\displaystyle b=0} entarten die beiden Kurvenäste zu der Geraden ${\displaystyle y=0}${\displaystyle y=0}.
• Für ${\displaystyle b=2a}${\displaystyle b=2a} hat die Kurve eine Spitze bei ${\displaystyle (x,y)=(-2a,a)}${\displaystyle (x,y)=(-2a,a)}.

• Konchoide
• Konchoide von de Sluze

• Darstellungen und Dürers Konstruktion der Kurve (von I. Rubin; PDF-Datei; 144 kB)
• Information zur Kurve (engl.)

• Kurve (Geometrie)
• Albrecht Dürer als Namensgeber