Rechteck

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Rechteck mit Länge a, Breite b und Diagonale d

In der Geometrie ist ein Rechteck (ein Orthogon) ein ebenes Viereck, dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind. Es ist ein Spezialfall des Parallelogramms und damit auch des Trapezes. Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

In der Topologie ist ein Rechteck eine Mannigfaltigkeit mit Rand, genauer eine Mannigfaltigkeit mit Ecken.

Eigenschaften

Für das Rechteck gilt:

Gegenüber liegende Seiten sind gleich lang und parallel.
Die vier Innenwinkel sind gleich, d. h. es ist ein gleichwinkliges Polygon. Die Innenwinkel sind rechte Winkel.
Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
Es besitzt einen Umkreis und ist daher ein Sehnenviereck. Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Es ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten der Seiten. Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander.
Es ist punktsymmetrisch (zweizählig symmetrisch) bezüglich des Schnittpunkts der Diagonalen.
Die Symmetriegruppe ist die Kleinsche Vierergruppe.

Das Rechteck kann charakterisiert werden als

Parallelogramm mit einem rechten Winkel
Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen
Viereck mit gleich langen Diagonalen, die sich halbieren

Formeln

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seitenlängen.

Mathematische Formeln zum Rechteck
Flächeninhalt	$A=a\cdot b$ {\displaystyle A=a\cdot b}
Umfang	$U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)$ {\displaystyle U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)}
Länge der Diagonalen	$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ {\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
Umkreisradius	$r={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ {\displaystyle r={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
Innenwinkel	$\alpha =\beta =\gamma =\delta =90^{\circ }$ {\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =\delta =90^{\circ }}

Die Formel für die Länge der Diagonalen beruht auf dem Satz des Pythagoras. Der Umkreisradius ergibt sich durch Halbierung der Länge der Diagonalen.

Um ein Rechteck zu konstruieren, müssen zwei Größen gegeben sein. Häufig sind entweder eine der beiden Seitenlängen und die Länge der Diagonalen oder beide Seitenlängen gegeben.

Goldenes Rechteck

Beide Rechtecke – je mit den Seitenverhältnissen a : b sowie (a + b) : a – sind jeweils Goldene Rechtecke (animierte Darstellung).

Rechtecke mit der Eigenschaft ${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$ {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}} für die Seitenlängen a und b nennt man Goldene Rechtecke. Als Seitenverhältnis ergibt sich der Goldenen Schnitt, also ${\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887$ {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887}.

Perfektes Rechteck

Perfektes Rechteck mit den Seitenlängen 32 und 33

Ein Rechteck heißt perfekt, falls man es mit Quadraten lückenlos und überschneidungsfrei überdecken kann, wobei alle Quadrate unterschiedlich groß sind. Es ist nicht einfach, eine solche Parkettierung zu finden. Eine solche Zerlegung eines Rechtecks mit den Seitenlängen 32 und 33 in 9 Quadrate wurde 1925 von Zbigniew Moroń gefunden. Sie besteht aus den Quadraten mit den Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.^[1]^[2]

Siehe auch

Goldenes Rechteck und Goldenes Dreieck

Weblinks

Wiktionary: Rechteck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Rechteck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Rechteck – Animierte Lernsequenz - Konstruktion, Umfang, Flächeninhalt

Einzelnachweise

↑ Darstellung der Rechtecke nach Moroń (abgerufen 5. Dezember 2017)
↑ Eric W. Weisstein: Perfect Square Dissection. In: MathWorld (englisch).

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