Vierzigeck

Ein Vierzigeck ist ein Polygon mit 40 Seiten und 40 Ecken. Oft ist dabei ein ebenes, regelmäßiges Tetracontagon gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Bereich regelmäßigen Vierzigeck mit der Seite "a" wird durch die Formel gegeben

${\displaystyle {\begin{aligned}A=10t^{2}\cot {\frac {\pi }{40}}=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{2}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(6+{\binom {2}{1}}{\sqrt {5}}\right)^{}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)^{}+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(11+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)t^{2}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}A=10t^{2}\cot {\frac {\pi }{40}}=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{2}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(6+{\binom {2}{1}}{\sqrt {5}}\right)^{}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)^{}+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(11+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)t^{2}\end{aligned}}}

Das Vierzigeckist darstellbar als:

• konkaves Vierzigeck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 168° ist. Ein Vierzigeck kann höchstens sechs solche Winkel haben.
• konvexes Vierzigeck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 168° sind. Ein konvexes Vierzigeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.

Schon bei den griechischen Mathematikern der Antike war bekannt, dass ein regelmäßiges Vierzigeck allein mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar ist:

Das Vierzigeck besitzt 170 Diagonalen:

• 40 Diagonalen über 2 (bzw. 38) Seiten
• 40 Diagonalen über 3 (bzw. 37) Seiten
• 40 Diagonalen über 4 (bzw. 36) Seiten
• 40 Diagonalen über 5 (bzw. 35) Seiten
• 40 Diagonalen über 6 (bzw. 34) Seiten
• 40 Diagonalen über 7 (bzw. 33) Seiten
• 40 Diagonalen über 8 (bzw. 32) Seiten
• 40 Diagonalen über 9 (bzw. 31) Seiten
• 30 Diagonalen über 30 Seiten

• Polygon