Diskussion:Richtungsableitung

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Diese Definition ist viel zu speziell - und was ist ein Richtungsvektor? Tatsächlich ist die Richtungsableitung - so - in der Kategorie der Vektorräume definiert und zwar "in Richtung" eines Vektors. Wenn man dann den Gradienten definieren will, muß man in der Katogorie der Vektorräume mit nicht-ausgearteter Bilinearform arbeiten (nicht notwendig symmetrisch oder antisymmetrisch). So bekommt man invariante Konzepte, invariant heißt "unabhängig von Koordinaten, sprich Basen". Gerade die Physik benutzt andere Vektorräume als den Rn, z.B. die der Pauli-, Dirac- und Duffin-Kemmer-Matrizen.

wäre es möglich, eine Beispielsanwendung anzuführen? kann man den Unterschied zur Ableitung bezüglich des Betrags formulieren? -- Matadoerle 11:16, 13. Okt 2005 (CEST) Auch mir fehlt ein mehrdimensionales Beispiel. Den Sonderfall mit Knick halte ich nicht für sinnvoll.

Mir fehlt alleine eine mehrdimensionale Definition, sprich, man sollte die Definition auf vektorwertige Funktionen ausdehen. Werde das beizeiten übernehmen. --Axel Wagner 03:11, 4. Jan. 2008 (CET) Beantworten

Im Beispiel unten wurde der Buchstabe h ungeschickt gewählt: in der oberen Definition der Richtungsableitung ist h bereits die freie Variable im Limes.

Du meinst wahrscheinlich die gebundene Variable. -- Digamma 21:16, 18. Jul. 2010 (CEST) Beantworten

Und ... wenn mich nicht alles täuscht, ist das Ergebnis nicht ganz korrekt. Sollte da nicht 1 bzw. -1 rauskommen? (nicht signierter Beitrag von 94.217.133.58 (Diskussion) 18:00, 18. Jul 2010 (CEST))

Das liegt daran, dass die Richtungsableitung in dem Artikel nicht nur für Einheitsvektoren (im eindimensionalen Fall also die Zahlen 1 und -1), sondern für alle Vektoren definiert ist. Ich finde das Beispiel sowieso schlecht, weil die Richtungsableitung in Richtung von -1 mit der linksseitigen Ableitung verwandt ist, aber gerade nicht dasselbe ist, sondern sich im Vorzeichen unterscheidet. In dem Beispiel hat sowohl die Richtungsableitung in Richtung -1 als auch die Richtungsableitung in Richtung +1 den Wert +1. -- Digamma 21:16, 18. Jul. 2010 (CEST) Beantworten

Hier hat sich m.E ein kleiner Fehler eingeschlichen. grad(f) * v grad muss der transponierte Gradient sein...

Je nach Definition ist der Gradient ein Zeilen- oder Spaltenvektor. D.h. es kommt auf die benutzte Definition des Gradienten an. Es ist in diesem Fall jedoch 100% irrelevant, da das Skalarprodukt (und nichts anderes als das ist dieser nette kleine Punkt in der Formel) in beiden Fällen gleich berechnet wird... --Axel Wagner 03:08, 4. Jan. 2008 (CET) Beantworten

Habe den Teil mit den Einheitsvektoren ergänzt: "Wählt man als Richtungsvektor die Koordinateneinheitsvektoren , so erhält man die partiellen Ableitungen von f" - Die Richtungsableitung liefert ja nur die MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE, also die "Steigung" in einem bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung. Habe also den Punkt X0 ergänzt. -- MitjaStachowiak (Diskussion) 15:46, 7. Jul. 2013 (CEST) Beantworten

Die Aussage, dass die einseitige Richtungsableitung immer konvex sei, ist falsch. --Digamma 17:00, 11. Dez. 2007 (CET) Beantworten

Unter Beispiel: "Jede partiell differenzierbare Funktion ist insbesondere richtungsdifferenzierbar." Diese Aussage ist falsch. Insgesamt gelten folgende Implikationen:

stetig partielle Differenzierbarkeit (kurz: stetige Differenzierbarkeit) ${\displaystyle \Rightarrow }${\displaystyle \Rightarrow } totale Differenzierbarkeit (kurz: Differenziebarkeit ${\displaystyle \Rightarrow }${\displaystyle \Rightarrow } Existenz aller Richtungsableitungen ${\displaystyle \Rightarrow }${\displaystyle \Rightarrow } partielle Differenzierbarkeit

Der Begriff der partiellen Diffbarkeit ist der schwächste von allen, er impliziert keinen der anderen.

Vgl:

[1] O. Forster: Analysis 2. Vieweg 2006 S. 66

[2] M. Barner und F. Flor:. Analysis, Bd. 2. De Gruyter 1983 S. 99ff

[3] R. Busam und T. Epp: Prüfungstrainer Analysis, Springer 2008 S. 264

Außerdem sind die einseitigen Richtungsableitungen falsch. Man erhält ${\displaystyle D_{h}^{+}{f(0)}=1}${\displaystyle D_{h}^{+}{f(0)}=1} für ${\displaystyle h\geq 0}${\displaystyle h\geq 0} und ${\displaystyle D_{h}^{+}{f(0)}=-1}${\displaystyle D_{h}^{+}{f(0)}=-1} für ${\displaystyle h\leq 0}${\displaystyle h\leq 0}. (nicht signierter Beitrag von 84.150.145.17 (Diskussion | Beiträge) 15:15, 4. Okt. 2009 (CEST)) Beantworten

Muss nicht der Vektor v ein Einheitsvektor sein? (nicht signierter Beitrag von 217.175.194.13 (Diskussion | Beiträge) 11:36, 24. Mai 2009 (CEST)) Beantworten

Ich möchte den Artikel gerne weiter ausbauen. Im Moment fehlt mir aber etwas die Zeit dazu. Ich möchte hier aber mal vorstellen, was ich mir wünsche:

1. Das Beispiel müsste überarbeitet werden. Oder ganz wegfallen. Ein Beispiel für eine Funktion von zwei Variablen, bei der einseitigen Richtungsableitungen existieren, aber nicht die beidseitigen, findet sich in Differenzierbarkeit. (Dort fehlt allerdings noch eine Illustration). Der Vergleich mit der einseitigen Ableitungen bei Funktionen einer Variablen ist schwierig, weil die Linksseitige Ableitung ${\displaystyle f_{-}^{\prime }}${\displaystyle f_{-}^{\prime }} sich von der linksseitigen Richtungsableitung ${\displaystyle D_{-1}f}${\displaystyle D_{-1}f} im Vorzeichen unterscheidet.
2. Stattdessen Beispiele für die Berechnung von Richtungsableitungen
3. Eine Definition für vektorwertige Funktionen.
4. Die Richtungsableitung als Differentialoperator (Derivation) und der Zusammenhang mit
5. Richtungsableitung für Funktionen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Tangentialvektoren als Richtungsableitungen.
6. Hinweis auf Verallgemeinerung: Kovariante Ableitung

Wer dazu etwas beitragen möchte, ist herzlich dazu eingeladen. Ich freue mich auch über Kritik an diesem Vorschlag und über Alternativvorschläge. -- Digamma 23:03, 2. Jun. 2010 (CEST) Beantworten

Wie kann die Richtungsableitung in v linear sein, wenn v ein Vektor mit Norm 1 sein soll? --79.230.93.68 19:06, 2. Jul. 2010 (CEST) Beantworten

Das ist für den Fall, dass man beliebige ${\displaystyle v}${\displaystyle v} zulässt. Wenn man nur Einheitsvektoren zulässt, dann bedeutet es, dass die Richtungsableitung die Einschränkung einer linearen Funktion auf Vektoren der Länge 1 ist. -- Digamma 21:46, 2. Jul. 2010 (CEST) Beantworten

Diese besteht doch eher, wenn man das Nabla-Symbol benutzt, denn in der Differentialgeometrie wird die kovariante Ableitung in der Regel mit ${\displaystyle \nabla }${\displaystyle \nabla } bezeichnet. Ich weiß allerdings nicht, wie es in der Physik ist. -- Digamma 17:16, 12. Jan. 2011 (CET) Beantworten

Im Artikel ist ${\displaystyle g_{\vec {v}}}${\displaystyle g_{\vec {v}}} wie folgt definiert: ${\displaystyle g_{\vec {v}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto f({\vec {x}}+t{\vec {v}})}${\displaystyle g_{\vec {v}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto f({\vec {x}}+t{\vec {v}})}

Der Defintionsbereich von ${\displaystyle g_{\vec {v}}}${\displaystyle g_{\vec {v}}} kann aber maximal ${\displaystyle \left\{t\in \mathbb {R} \mid {\vec {x}}+t{\vec {v}}\in U\right\}}${\displaystyle \left\{t\in \mathbb {R} \mid {\vec {x}}+t{\vec {v}}\in U\right\}} entsprechen.

--79.223.194.157 13:01, 27. Jan. 2013 (CET) Beantworten

Stimmt. --Digamma (Diskussion) 17:27, 27. Jan. 2013 (CET) Beantworten

Ist korrigiert.--V4len (Diskussion) 13:09, 15. Mai 2014 (CEST) Beantworten

Die derzeitigen Aussage im Text sind falsch. Die Richtungsableitung in Richtung -1 ist nicht dasselbe, wie die linksseitige Ableitung. Die linksseitige Ableitung der Betragsfunktion an der Stelle 0 ist -1, soweit ist es richtig. Die Richtungsableitung in Richtung ${\displaystyle v=-1}${\displaystyle v=-1} ist aber

${\displaystyle \lim _{h\searrow 0}{\frac {|0+h\cdot (-1)|}{h}}=1.}${\displaystyle \lim _{h\searrow 0}{\frac {|0+h\cdot (-1)|}{h}}=1.}

--Digamma (Diskussion) 14:45, 10. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Ja, das stimmt natürlich, dann wäre ich dafür, die Version vor den heutigen Änderungen wiederherzustellen. Allerdings kann sich der ganze Artikel nicht so recht entscheiden, ob |v| = 1 vorausgesetzt werden soll oder nicht. -- HilberTraum (Diskussion) 15:27, 10. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Das stimmt. Ich habe leider keinen Überblick über die Literatur. Was ist denn üblich? Eine Google-Books-Suche ergibt kein einheitliches Bild. --Digamma (Diskussion) 18:55, 10. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Ich kann am Montag mal die gängigen Lehrbücher durchschauen, aber ich „fürchte", dass es sich da wohl auch mehr oder weniger die Waage hält. -- HilberTraum (Diskussion) 19:02, 11. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Dann bleibt uns wohl auch nichts anderes übrig, als die verschiedenen Zugänge darzustellen. Was das Beispiel betrifft: Ich habe schon an zwei Stellen weiter oben geschrieben, dass ich es für schlecht gewählt halte. --Digamma (Diskussion) 19:56, 11. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Ach so, ich wollte ja noch vom Ergebnis meiner Recherche berichten, es ist sogar noch uneinheitlicher als gedacht:

• Forster, Heuser, Rudin und Deiser setzen ${\displaystyle \|v\|=1}${\displaystyle \|v\|=1} voraus
• Amann/Escher, Barner/Flohr und Fritzsche setzen ${\displaystyle v\neq 0}${\displaystyle v\neq 0} voraus
• Königsberger und Walter setzen nichts voraus: ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}

-- HilberTraum (Diskussion) 13:30, 15. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Angesichts dessen halte ich die gegenwärtige Version für gar nicht schlecht: Zunächst wird die Richtungsableitung für Einheitsvektoren eingeführt. Beschränkt man sich auf Einheitsvektoren, so stimmen ja alle Definitionen überein. Im nächsten Schritt wird dann gesagt, wie die Definition auf allgmeine Vektoren v ausgedehnt werden kann. Und da gibt es dann die zwei Möglichkeiten: 1. Man setzt homogen fort; oder 2. Man setzt so fort, dass die Richtungsableitung tatsächlich nur von der Richtung und nicht von der Länge des Vektors abhängt (in diesem Fall muss man den Nullvektor ausschließen).

Nochmals zum Beispiel: Es gibt ein zweidimensionales Beispiel unter Differenzierbarkeit#Einseitige, aber keine beidseitigen Richtungsableitungen, mit Grafik. --Digamma (Diskussion) 17:52, 15. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Die 2. Möglichkeit, bei der die Richtungsableitung nicht von der Länge abhängt, habe ich allerdings außer beim angegebenen Papula nicht noch mal gefunden. Ich habe noch mal nachgeschaut: Auch die drei Bücher, die ${\displaystyle v\neq 0}${\displaystyle v\neq 0} voraussetzen, definieren sie „ganz normal" als ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}}${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}}. -- HilberTraum (Diskussion) 12:05, 16. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Z. B. hier wird auch die 2. Möglichkeit verwendet. (Das war der dritte Treffer bei der Google-Buch-Suche nach "Richtungsableitung". Weitere habe ich aber nicht gefunden.) Ich habe den Eindruck, dass diese Definition eher von Anwendern wie z.B. Ingenieuren verwendet wird, wobei diese aber eher den Begriff von vornherein auf Einheitsvektoren einschränken. --Digamma (Diskussion) 20:06, 16. Jan. 2014 (CET) Beantworten

Ich habe soeben die Definition überarbeitet und Vektorpfeile entfernt sowie die Definition über normierte Richtungen entfernt. Falls diese Punkte für jemanden wichtig sind, würde ich das gerne hier besprechen. Wenn es keine Einwände gibt, würde ich die Vektorpfeile auch im restlichen Artikel entfernen. --V4len (Diskussion) 11:03, 14. Mai 2014 (CEST) Beantworten

Hallo V4len, ich kann nicht nachvollziehen, dass du die Ausführungen über die unterschiedlichen Definitionen in dem Fall, dass v kein Einheitsvektor ist, entfernt. Vergleiche dazu auch die Diskussion im Abschnitt hierüber. Welchen Grund gibt es dafür, dass du die Vektorpfeile entfernst? (Und am Rande: die Diskussion hier ist nicht so lang, dass man sie archivieren müsste.) --Digamma (Diskussion) 11:10, 14. Mai 2014 (CEST) Beantworten

Vektorpfeile: Wenn man die Diskussionsseite betrachtet, scheint keiner Vektorpfeile zu benutzen. Der Sinn der Vektorpfeile scheint daher sehr fraglich. --V4len (Diskussion) 13:30, 14. Mai 2014 (CEST) Beantworten

normierter Fall: Wenn man die Diskussionsseite betrachtet, scheint der Fall, dass man Richtungsableitungen über normierte Richtungen definiert nur zu Verwirrungen zu führen (Abschnitt v Einheitsvektor? und Linear). Der praktische Nährwert, Richtungsableitungen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nur auf der Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}} zu definieren, entzieht sich mir. Man könnte diese Definition als Besonderheit aufführen (siehe z.B. englischer WP-Artikel). Allerdings halte ich es für falsch damit die allgemeine Definition zu beginnen. --V4len (Diskussion) 13:30, 14. Mai 2014 (CEST) Beantworten

Zu den Vektorpfeilen: Dass auf der Diskussionsseite keine benutzt werden, hat nichts zu bedeuten. Hier möchte man sich einfach die Mühe sparen. Die Mitdiskutanten verstehen einen sowieso. Bei den Lesern des Artikels ist das aber nicht unbedingt der Fall.

Zu den normierten Richtungen: Das Problem ist, dass die Literatur sich nicht einig ist, was unter der Richtungsableitung zu verstehen ist, wenn die Richtungsvektoren nicht normiert sind. Belege waren im Artikel angegeben und stehen in der Diskussion oben. Das sollte man nicht unterschlagen. Ich bin mir nicht sicher, ob die Definition, die sich im Moment im Artikel befindet, die allgemein übliche ist. Die bisherige Version war gerade eine Reaktion auf die Verwirrung, die sich in den von dir genannten Diskussionsbeiträgen zeigt. --Digamma (Diskussion) 15:27, 14. Mai 2014 (CEST) Beantworten

Würde es aus Deiner Sicht in Ordnung sein, die Definition so zu belassen und einen weiteren Punkt einzufügen, der die Überschrift Normierte Richtungsableitung trägt? Es erscheint mir so, dass die normierte Richtungsableitung nicht von allen Autoren als ein zentral wichtiges Konzept angesehen wird. Die englische WP fügt sie nur als Ergänzung an, die französische erwähnt sie überhaupt nicht. --V4len (Diskussion) 18:13, 14. Mai 2014 (CEST) Beantworten

Die Bezeichnung "Normierte Richtungsableitung" gefällt mir nicht. Es wird ja nicht die Ableitung normiert, sondern der Richtungsvektor. Ansonsten gefällt mir dein Vorschlag, der, wenn ich ihn richtig verstehe, sich an der englischen Wikipedia orientiert: Erst die allgemeine Version und dann die Versionen, wo der Richtungsvektor normiert wird oder von vornherein normiert ist. --Digamma (Diskussion) 19:51, 14. Mai 2014 (CEST) Beantworten

Das stimmt so nicht ganz. Eigentlich wird die Richtungsableitung normiert. Es gilt immerhin mit dieser Definition ${\displaystyle D_{v}f(x)={\frac {\left\langle \nabla f(x),v\right\rangle }{|v|}}}${\displaystyle D_{v}f(x)={\frac {\left\langle \nabla f(x),v\right\rangle }{|v|}}}, falls das totale Differential ${\displaystyle \nabla f(x)}${\displaystyle \nabla f(x)} existiert. Ich habe trotzdem vorerst eine andere Formulierung für die Überschrift gewählt. Wäre das so für dich in Ordnung? --V4len (Diskussion) 10:51, 15. Mai 2014 (CEST) Beantworten

Da die totale Ableitung linear (und die Richtungsableitung positiv homogen) ist, spielt es natürlich keine Rolle, ob v oder die Richtungsableitung durch den Betrag von v dividiert wird. In der linearen Algebra ist ein "normierter" Vektor ein Vektor mit Betrag 1, insofern ist ${\displaystyle {\frac {v}{|v|}}}${\displaystyle {\frac {v}{|v|}}} ein normierter Vektor aber ${\displaystyle {\frac {\left\langle \nabla f(x),v\right\rangle }{|v|}}}${\displaystyle {\frac {\left\langle \nabla f(x),v\right\rangle }{|v|}}} ist nicht normiert. Ansonsten ist deine Bearbeitung für mich in Ordnung. --Digamma (Diskussion) 21:30, 15. Mai 2014 (CEST) Beantworten

• Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Autoarchiv-Erledigt