Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!") abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté „Fähigkeit" dafür einführte.

Für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ist

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis ${\displaystyle n}${\displaystyle n} definiert. Außerdem gilt analog zum leeren Produkt

${\displaystyle 0!=1}${\displaystyle 0!=1}

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

${\displaystyle n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot (n-1)!,&n>0\end{cases}}}${\displaystyle n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot (n-1)!,&n>0\end{cases}}}

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert.

${\displaystyle {\begin{aligned}0!&=1\1円!&=1\2円!&=1\cdot 2=2\3円!&=1\cdot 2\cdot 3=6\4円!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\5円!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}0!&=1\1円!&=1\2円!&=1\cdot 2=2\3円!&=1\cdot 2\cdot 3=6\4円!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\5円!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\end{aligned}}}

Die Werte der Fakultäten bilden Folge A000142 in OEIS.

Die Eulersche Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} }${\displaystyle \mathrm {e} } lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

${\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots }${\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots }

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil ${\displaystyle n!}${\displaystyle n!} die Anzahl der Möglichkeiten ist, ${\displaystyle n}${\displaystyle n} unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls ${\displaystyle X}${\displaystyle X} eine ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-elementige Menge ist, so ist ${\displaystyle n!}${\displaystyle n!} auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen ${\displaystyle X\to X}${\displaystyle X\to X} (die Anzahl der Permutationen).

Bei einem Autorennen starten sechs Fahrer. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen?

Lösung: Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher ${\displaystyle 6\cdot 5}${\displaystyle 6\cdot 5} Möglichkeiten.

Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer ${\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4}${\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4} Belegungsmöglichkeiten ergeben, usw. Letztlich gibt es also ${\displaystyle 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720}${\displaystyle 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720} verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Die Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma (x)}${\displaystyle \Gamma (x)} verallgemeinert die Fakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),\qquad n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),\qquad n\in \mathbb {N} }

${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t}${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t}

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen ${\displaystyle (n)_{k}}${\displaystyle (n)_{k}} und ${\displaystyle (n)^{k}}${\displaystyle (n)^{k}} dar, denn ${\displaystyle (n)_{n}=(1)^{n}=n!}${\displaystyle (n)_{n}=(1)^{n}=n!}.

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

${\displaystyle n_{\#}=\prod _{p\leq n,\;p{\text{ prim}}}p}${\displaystyle n_{\#}=\prod _{p\leq n,\;p{\text{ prim}}}p}

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät ${\displaystyle !n}${\displaystyle !n} bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Elementen.

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist das Produkt

${\displaystyle n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {gerade,} \\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {ungerade,} \end{cases}}}${\displaystyle n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {gerade,} \\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {ungerade,} \end{cases}}}^[1]

wenn ${\displaystyle n>0}${\displaystyle n>0}, außerdem definiert man 0!! = 1 und (−1)!! = 1 wie beim leeren Produkt. Zum Beispiel ist ${\displaystyle (2n-1)!!}${\displaystyle (2n-1)!!} die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von ${\displaystyle 2n}${\displaystyle 2n} Elementen, auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf. Häufig werden stattdessen aber Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet:

${\displaystyle (2k)!!=2^{k}\cdot k!}${\displaystyle (2k)!!=2^{k}\cdot k!}     und     ${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}\cdot k!}}}${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}\cdot k!}}}

Werden nicht ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, so dass n!! = n · (n−2)!! für alle ungeraden ganzen Zahlen n gilt. Man erhält die Formel ${\displaystyle n!!={\tfrac {1}{n+2}}\cdot {\tfrac {1}{n+4}}\cdot \ldots \cdot {\tfrac {1}{1}}}${\displaystyle n!!={\tfrac {1}{n+2}}\cdot {\tfrac {1}{n+4}}\cdot \ldots \cdot {\tfrac {1}{1}}} für ungerade n<0.

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (${\displaystyle n!!!}${\displaystyle n!!!}), vierfache (${\displaystyle n!!!!}${\displaystyle n!!!!}), ..., ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-fache Fakultät (${\displaystyle n!^{(k)}}${\displaystyle n!^{(k)}}) rekursiv definiert als

${\displaystyle n!^{(k)}:={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=0\\n&{\text{falls }}0<n\leq k\\n(n-k)!^{(k)}&{\text{falls }}n>k\end{cases}}}${\displaystyle n!^{(k)}:={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=0\\n&{\text{falls }}0<n\leq k\\n(n-k)!^{(k)}&{\text{falls }}n>k\end{cases}}}^[2]

Für die Superfakultät ${\displaystyle \mathrm {sf} (n)}${\displaystyle \mathrm {sf} (n)} gibt es zwei unterschiedliche Definitionen;^[3] die eine definiert sie als das Produkt der ersten Fakultäten:

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{i=1}^{n}i!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\cdot \ldots \cdot n!=G(n+2)}${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{i=1}^{n}i!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\cdot \ldots \cdot n!=G(n+2)}^[3]

mit der Barnes'schen Funktion ${\displaystyle G(n)}${\displaystyle G(n)}, die andere als mehrfache Potenz einer Fakultät

${\displaystyle n\$={\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!\end{matrix}}.}${\displaystyle n\$={\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!\end{matrix}}.}

Die Hyperfakultät ${\displaystyle H_{n}}${\displaystyle H_{n}} ist für natürliche ${\displaystyle n}${\displaystyle n} folgendermaßen definiert:

${\displaystyle H(n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 4^{4}\cdot \ldots \cdot n^{n}}${\displaystyle H(n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 4^{4}\cdot \ldots \cdot n^{n}}^[4]

Sie kann durch die K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

• Smarandache-Funktion

• Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!,円(n-k)!}}}${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!,円(n-k)!}}}.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-elementige Teilmenge aus einer ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-elementigen Menge auszuwählen. Hier ist das beliebteste Beispiel, das Zahlenlotto 6 aus 49 mit

${\displaystyle {49 \choose 6}={\frac {49!}{6!,円(49-6)!}}=13,983円,816円}${\displaystyle {49 \choose 6}={\frac {49!}{6!,円(49-6)!}}=13,983円,816円}

Möglichkeiten.

• Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Der numerische Wert für ${\displaystyle n!}${\displaystyle n!} kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls ${\displaystyle n}${\displaystyle n} nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist ${\displaystyle 69!\approx 1{,}7\cdot 10^{98},}${\displaystyle 69!\approx 1{,}7\cdot 10^{98},} da ${\displaystyle 70!\approx 1{,}2\cdot 10^{100}}${\displaystyle 70!\approx 1{,}2\cdot 10^{100}} außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt.

Wenn ${\displaystyle n}${\displaystyle n} groß ist, bekommt man eine gute Näherung für ${\displaystyle n!}${\displaystyle n!} mit Hilfe der Stirling-Formel:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}

Dabei bedeutet ${\displaystyle \sim }${\displaystyle \sim }, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für ${\displaystyle n\to \infty }${\displaystyle n\to \infty } gegen ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1} konvergiert.

Umsetzung der Fakultätberechnung in ein Pythonprogramm (in der Programmiersprache Python kann mit beliebig großen ganzen Zahlen gerechnet werden, Grenzen setzt lediglich der verfügbare Speicher).

Auf einem Intel Pentium 4 benötigt zum Beispiel die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

#!/usr/bin/python
# Syntax: Python 2.6.1
n = int(raw_input('Fakultaet von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
 f = f * i
print n, '! =', f

Falls nicht die vollständige Zahl ${\displaystyle n!}${\displaystyle n!} gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, so lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

${\displaystyle v_{p}(n!)={\begin{cases}0&{\text{falls }}n<p\\\lfloor n/p\rfloor +v_{p}(\lfloor n/p\rfloor !)&{\text{sonst}}\end{cases}}}${\displaystyle v_{p}(n!)={\begin{cases}0&{\text{falls }}n<p\\\lfloor n/p\rfloor +v_{p}(\lfloor n/p\rfloor !)&{\text{sonst}}\end{cases}}}

Hier steht ${\displaystyle v_{p}(k)}${\displaystyle v_{p}(k)} für den Exponenten von ${\displaystyle p}${\displaystyle p} in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle k}${\displaystyle k}.

1. ↑ Eric W. Weisstein: Double Factorial. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ Eric W. Weisstein: Multifactorial. In: MathWorld (englisch).
3. ↑ ^{a b} Eric W. Weisstein: Superfactorial. In: MathWorld (englisch).
4. ↑ Eric W. Weisstein: Hyperfactorial. In: MathWorld (englisch).

• Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät  – Lern- und Lehrmaterialien
• Peter Luschny: The Homepage of Factorial Algorithms (englisch, effiziente Algorithmen und weitere Informationen)
• Eric W. Weisstein: Factorial. In: MathWorld (englisch).

• Kombinatorik

• Wikipedia:Seite mit Syntaxhervorhebungsfehlern