Normalschwingungen

Normalschwingungen oder Normalmoden in einem oszillierenden System sind spezielle Lösungen, bei denen alle Teile eines Systems mit derselben Frequenz (Normalfrequenz oder erlaubte Frequenz) schwingen. Die Normalschwingungen können als Resonanzfälle bzw. Schwingungseigenformen des schwingfähigen Systems aufgefasst werden.

Das Konzept der Normalschwingungen ist von zentraler Bedeutung in der Wellentheorie, Optik und Quantenmechanik.

Jede harmonische Schwingung eines Systems, also auch wenn es Impulse abgibt (z. B. modengekoppelter Laser), kann z. B. mittels der Fouriertransformation aus einer Linearkombinationen seiner Normalschwingungen beschrieben werden.

Zum Ermitteln der Normalschwingungen können die Systeme auf ihr Verhalten bei Anregung mit einer variablen Frequenz hin untersucht werden.

Zur Berechnung solcher Harmonischer Oszillatoren werden Werkzeuge aus der Linearen Algebra und lineare Mengen von Differentialgleichungen verwendet. Man kann das Problem als Matrix-Vektor-Gleichung formulieren und dann ihre Eigenvektoren berechnen. Damit sind die Normalschwingungen die Eigenvektoren und die Normalfrequenzen sind die Eigenwerte.

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch eine Wellenfunktion ${\displaystyle \psi (x,t)}${\displaystyle \psi (x,t)} beschrieben, die eine Lösung der Schrödingergleichung darstellt. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion d. h.

${\displaystyle \ P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}${\displaystyle \ P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}

ist die Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeitsdichte), das Teilchen an einem Ort x zur Zeit t wahrzunehmen.

Normalerweise, wenn man irgendeine Art von Potential einführt, wird die Wellenfunktion in eine Superposition von Eigenzuständen zerlegt, wobei jeder Eigenzustand mit einer Frequenz ${\displaystyle \omega =E_{n}/\hbar }${\displaystyle \omega =E_{n}/\hbar } oszilliert. Deshalb schreibt man

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}|n\rangle \left\langle n|\psi (t=0)\right\rangle e^{-iE_{n}t/\hbar }}${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}|n\rangle \left\langle n|\psi (t=0)\right\rangle e^{-iE_{n}t/\hbar }}

Die Eigenzustände haben eine physikalische Bedeutung, die über der einer Orthonormalbasis hinaus geht. Wenn eine Messung in der Quantenmechanik stattfindet, zerfällt die Wellenfunktion in einen ihrer Eigenzustände. Somit wird die Wellenfunktion des Teilchens nur durch den Eigenzustand beschrieben, der der gemessenen Energie entspricht.

Ein N-atomiges Molekül hat ${\displaystyle 3N-6}${\displaystyle 3N-6} Normalschwingungen, auch Freiheitsgrade genannt, ein lineares Molekül ${\displaystyle 3N-5}${\displaystyle 3N-5}. Die Symmetrien dieser Molekülschwingungen können durch die gruppentheoretischen Charaktertafeln beschrieben werden. Eine Normalschwingung stellt eine Basis für eine irreduzible Darstellung der Punktgruppe des schwingenden Moleküls dar. Die Frequenz ${\displaystyle f}${\displaystyle f} bzw. die Wellenzahl ν der jeweiligen Normalschwingung berechnet sich dem harmonischen Oszillator-Modell zufolge nach:

${\displaystyle f=\nu c={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}${\displaystyle f=\nu c={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}

wobei ${\displaystyle c}${\displaystyle c} die Vakuumlichtgeschwindigkeit, ${\displaystyle k}${\displaystyle k} die Kraftkonstante und ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } die reduzierte Masse darstellen.

• The Matrix Approach to Normal Mode Analysis. (Berechnung von Normalmoden in Matrixschreibweise, engl.).

• Quantenmechanik