Einundzwanzigeck

Ein 21-Eck ist ein Polygon mit 21 Seiten und 21 Ecken. Oft ist dabei ein ebenes, regelmäßiges 21-Eck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Das regelmäßige 21-Eck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen (${\displaystyle 21=2^{1}\cdot 3\cdot 5}${\displaystyle 21=2^{1}\cdot 3\cdot 5}) darstellbar ist.

Das 21-Eck ist darstellbar als:

• konkaves 21-Eck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 162,86° ist. Ein 21-Eck kann höchstens sechs solche Winkel haben.
• konvexes 21-Eck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 162,86° sind. Ein konvexes Dreizehneck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.

Schon bei den griechischen Mathematikern der Antike war bekannt, dass ein regelmäßiges 21-Eck allein mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar ist:

Jedes 21-Eck besitzt 405 Diagonalen. Für jede der 21 Ecken, an der eine Diagonale anfangen kann, gibt es 27 mögliche Endpunkte. Diese Anzahl muss aber noch durch 2 geteilt werden, damit keine Diagonale doppelt gezählt wird. So ergeben sich die genannten ${\displaystyle {\tfrac {21\cdot 23}{2}}=395}${\displaystyle {\tfrac {21\cdot 23}{2}}=395} Diagonalen. Davon sind aber nur ${\displaystyle \lfloor {\tfrac {21-4}{4}}\rfloor =7}${\displaystyle \lfloor {\tfrac {21-4}{4}}\rfloor =7} verschieden.

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