„Pendel" – Versionsunterschied

Ein Pendel (lat. pendere "hängen") besteht aus einem Gewicht am Ende einer flexiblen oder starren Aufhängung (zum Beispiel Seil oder Stab). Lenkt man ein Pendel aus seiner vertikalen Ruhelage aus, schwingt es unter dem Einfluss der Schwerkraft zurück und wird ohne den Einfluss von Dämpfung symmetrisch um den zentralen, tiefsten Punkt (seiner Ruheposition) schwingen.

Die regelmäßige Schwingungsperiode eines Pendels wurde bei der Konstruktion der ersten mechanischen Uhren genutzt.

Bei kleinen Auslenkwinkeln φ (< = 5°) kann man die Bewegung eines idealen Pendels (mathematisches Pendel), d.h. einer Punktmasse an einem masselosen Faden, näherungsweise durch eine harmonische Schwingung beschreiben.

Die allgemeine Differentialgleichung zur Beschreibung eines solchen Pendels ist

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi }${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi }

wobei ${\displaystyle {\ddot {}}}${\displaystyle {\ddot {}}} für die zweite Ableitung nach der Zeit, g für die Fallbeschleunigung (siehe auch: Gravitationskonstante), l für die Länge und m für die Masse des Pendels stehen.

Bei kleinem Auslenkungswinkel φ gilt

${\displaystyle \sin \varphi \approx \varphi }${\displaystyle \sin \varphi \approx \varphi }

so dass sich die Gleichung zu

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}\approx -{\frac {g}{l}}\varphi }${\displaystyle {\ddot {\varphi }}\approx -{\frac {g}{l}}\varphi }

vereinfacht. Man erhält als spezielle Lösung

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{max}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t\right)}${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{max}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t\right)}

eine harmonische Schwingung (Kosinus-Funktion) mit der Schwingungsperiode

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}

Da echte Pendel immer mehr als infinitesimal ausgelenkt werden, verhalten sie sich in Wirklichkeit nichtlinear. Die allgemeine Differentialgleichung ist elementar nicht lösbar und erfordert Kenntnisse über elliptische Integrale. Damit lässt sich die allgemeine Lösung in einer Reihe entwickeln:

${\displaystyle T(\varphi )=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\varphi }{2}}+...\right)}${\displaystyle T(\varphi )=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\varphi }{2}}+...\right)}

Außerdem ist die Dämpfung durch Reibungsverluste bei einem echten Pendel größer als Null, so dass die Auslenkungen ungefähr exponentiell mit der Zeit abnehmen.

Zwei aneinander befestigte Pendel bilden ein Doppelpendel, dessen Bewegungsabläufe in der Regel chaotisch sind.

Während ein Pendel nach obiger Differentialgleichung eine kosinusförmige Bewegung aufweist, erzeugen linear gekoppelte Pendel (zum Beispiel über Federn) komplexere Schwingungsmuster aus Überlagerungen von sog. Eigenschwingungen oder Moden mit zugehörigen Eigenfrequenzen.

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