„Achtzehneck" – Versionsunterschied

Ein Achtzehneck oder Oktodekagon ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch achtzehn Eckpunkte.

Ein Spezialfall des Achtzehnecks ist das regelmäßige Achtzehneck, dessen Seiten alle gleich lang sind und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Der von zwei durch benachbarten Ecken gehenden Umkreisradien eingeschlossene Winkel (Zentriwinkel) beträgt

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{18}}=20^{\circ }}${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{18}}=20^{\circ }}.

Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Achtzehneck miteinander einschließen, beträgt

${\displaystyle \beta ={\frac {(18-2)}{18}}\cdot 180^{\circ }={\frac {16}{18}}\cdot 180^{\circ }=160^{\circ }}${\displaystyle \beta ={\frac {(18-2)}{18}}\cdot 180^{\circ }={\frac {16}{18}}\cdot 180^{\circ }=160^{\circ }}.

${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}}

${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {10^{\circ }}}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {10^{\circ }}}

${\displaystyle s\approx r_{u}\cdot 0{,}1736481777}${\displaystyle s\approx r_{u}\cdot 0{,}1736481777}

Im regelmäßigen Achtzehneck gibt es insgesamt 135 Diagonalen mit verschiedenen Längen:

• 18 Diagonalen über 2 (bzw. 16) Seiten
• 18 Diagonalen über 3 (bzw. 15) Seiten
• 18 Diagonalen über 4 (bzw. 14) Seiten
• 18 Diagonalen über 5 (bzw. 13) Seiten
• 18 Diagonalen über 6 (bzw. 12) Seiten
• 18 Diagonalen über 7 (bzw. 11) Seiten
• 18 Diagonalen über 8 (bzw. 10) Seiten
• 9 Diagonalen über 9 Seiten

Die Längen im Verhältnis zum Umkreisradius betragen:

• Die Diagonale über zwei Seiten entspricht der Seite eines Neunecks mit gleichem Umkreis:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {20^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 0{,}68404029}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {20^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 0{,}68404029}
• Die Diagonale über drei Seiten entspricht der Seite eines Sechsecks mit gleichem Umkreis:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {30^{\circ }}=r_{u}}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {30^{\circ }}=r_{u}}
• Die Diagonale über vier Seiten:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {40^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}28557522}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {40^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}28557522}
• Die Diagonale über fünf Seiten:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {50^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}53208889}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {50^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}53208889}
• Die Diagonale über sechs Seiten entspricht der Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit gleichem Umkreis:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {60^{\circ }}=r_{u}\cdot {\sqrt {3}}}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {60^{\circ }}=r_{u}\cdot {\sqrt {3}}}
• Die Diagonale über sieben Seiten:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {70^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}87938524}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {70^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}87938524}
• Die Diagonale über acht Seiten:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {80^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}96961551}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {80^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}96961551}
• Die Diagonale über neun Seiten entspricht dem Durchmesser des Umkreises:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}}${\displaystyle s=2\cdot r_{u}}

Die Fläche A des regelmäßigen Achtzehnecks mit der Seitenlänge s beträgt

${\displaystyle A={\frac {18}{4}}\cdot s^{2}\cdot {\frac {\cos 10^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}}}${\displaystyle A={\frac {18}{4}}\cdot s^{2}\cdot {\frac {\cos 10^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}}}

oder mit dem Umkreisradius

${\displaystyle A={\frac {18}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \sin 20^{\circ }}${\displaystyle A={\frac {18}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \sin 20^{\circ }}.

Das Achtzehneck wird durch Konstruktion eines Neunecks (zu Details siehe dortigen Artikel) und anschließende Winkel- oder Seitenhalbierung konstruiert. Weil ein regelmäßiges Neuneck nicht nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, gilt das auch für das Achtzehneck. Man benötigt dazu zumindest ein Werkzeug zur Dreiteilung eines Winkels.

Die um 1850 zum Andenken an Siege über Napoleon errichtete Befreiungshalle im bayrischen Kelheim hat einen achtzehneckigen Grundriss.

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• Polygon