Теорема (греч. theorema, от theoréo — рассматриваю, исследую), предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция ), устанавливаемое при помощи доказательства . Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая механика, некоторые разделы физики) состоит из Теорема, доказываемых одна за другой на основании ранее уже доказанных Теорема; самые же первые предложения принимаются без доказательства и являются, таким образом, логической основой данной области дедуктивной теории; эти первые предложения называют аксиомами .
В формулировке Теорема различают условие и заключение. Например, 1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3, или 2) если в треугольнике один из углов прямой, то оба других — острые; в каждом из этих примеров после слова «если» стоит условие Теорема, а после слова «то» — заключение. В такой форме можно высказать каждую Теорема Например, Теорема: «всякий вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой», можно высказать так: «если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой».
Для каждой Теорема, высказанной в форме «если... то...». можно высказать ей обратную теорему , в которой условие является заключением, а заключение — условием. Прямая и обратная Теорема взаимно обратны. Не всякая обратная Теорема оказывается верной; так, для примера 1) обратная Теорема верна, а для примера 2) — очевидно неверна. Справедливость обеих взаимно обратных Теорема означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия ).
Если заменить условие и заключение Теорема их отрицаниями, то получится Теорема, называемая противоположной данной (см. Противоположная теорема ), она равносильна обратной Теорема Точно так же и Теорема, обратная противоположной, равносильна исходной Теорема (прямой). Поэтому доказательство прямой Теорема можно заменить доказательством того, что из отрицания заключения данной Теорема вытекает отрицание её условия. Этот метод, называемый доказательством от противного , или приведением к абсурду, является одним из наиболее употребительных приёмов математических доказательств.