Сети линий на поверхности, всевозможные пары однопараметрических семейств линий , лежащих на поверхности. Например, на однополостном гиперболоиде два семейства прямолинейных образующих составляют Сети линий Дифференциальная геометрия изучает Сети линий прежде всего «в малом», т. е. на достаточно малом куске поверхности, в пределах которого ни поверхность, ни линии, составляющие сеть, не имеют особых точек; при этом линии предполагаются достаточно гладкими и расположенными так, что через каждую точку рассматриваемой области проходят в двух разных направлениях точно две линии сети — по одной из каждого семейства.
Всякая система координат (и, v) на поверхности определяет сеть («координатную»), состоящую из двух семейств: и = const и v = const. От выбора координатной сети зависит вид формул теории поверхностей. Так, если эта сеть ортогональная, то в выражении первой квадратичной формы
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2
коэффициент F = 0, в результате чего многие формулы упрощаются. В противоположность координатным сетям, которые могут быть наложены на поверхность бесчисленным множеством способов, не будучи обязательно связаны с ней каким-либо геометрическим соотношением, на каждой поверхности существуют такие Сети линий, которые определяются самой поверхностью.
Лит.: Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 2, М. — Л., 1948; Норден А. П., Теория поверхностей, М., 1956; Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.