Проективное преобразование, взаимно однозначное отображение проективной плоскости или проективного пространства в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому Проективное преобразование иногда называется коллинеацией). Проективное преобразование проективной прямой называется взаимно однозначное отображение её в себя, при котором сохраняется гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером Проективное преобразование является гомология — Проективное преобразование, оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером Проективное преобразование пространства является перспектива, т. е. проектирование фигуры F , лежащей в плоскости П, из точки S в фигуру F", расположенную в плоскости П", любое Проективное преобразование получается конечной последовательностью перспектив. Проективное преобразование образуют группу , основным инвариантом которой является двойное отношение четырёх точек прямой. Теории инвариантов групп Проективное преобразование, оставляющих на месте некоторую фигуру, представляют собой метрические геометрии (см. Проективная метрика ).
Основная теорема о Проективное преобразование проективной плоскости состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А, В, С, D плоскости П, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки A", B", C", D" той же плоскости, из которых никакие три также не лежат на одной прямой, существует и притом только одно Проективное преобразование, которое точки А, В, С, D переводит соответственно в точки A", B", C", D". Эта теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: там Проективное преобразование определяется пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема эквивалентна аксиоме Паппа.
В однородных координатах Проективное преобразование выражается однородным линейным преобразованием , определитель матрицы которого не равен нулю. Рассматриваются также Проективное преобразование евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями , причём свойство взаимной однозначности утрачивается.
Лит. см. при ст. Проективная геометрия .