Первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(где С - произвольная постоянная), левая часть которого сохраняет постоянное значение при подстановке любого решения y1 = y1(x),..., yn= yn (x) системы, но не является тождественной постоянной (см. Дифференциальные уравнения ). Геометрически Первый интеграл представляет собой семейство гиперповерхностей в (n + 1)-мерном пространстве Oxy1... yn, на каждой из которых расположено некоторое подсемейство интегральных кривых системы. Например, одним из Первый интеграл системы , является y2 + x2 = C 2 (круговые цилиндры); интегральные кривые у = C sin (x - x0), z = C cos (x-x0) суть винтовые линии, расположенные на этих цилиндрах (см. рис.). Если известно k независимых Первый интеграл Фi (x1, y1,..., уп) = C i (i = 1,..., k; k < n)системы, то её порядок, вообще говоря, может быть понижен на k единиц; если k = n, то общий интеграл системы получается без интегрирования.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.