Малые выборки, статистические выборки столь малого объёма n, что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n ® ¥. Особенности статистической оценки параметров по Малые выборки легче всего понять на примере нормального распределения (для которого малыми обычно считают выборки объёма n £ 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборки x1, x2, ..., xn из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией s2. Обозначим
,
.
Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины
не зависит от а и s.
Вероятность w неравенства - tw < t < tw и равносильного ему неравенства
(1)
вычисляется при этом по формуле
w = (2)
где s(t, n - 1) есть плотность вероятности для так называемого Стьюдента распределения с n - 1 степенями свободы. Определяя для заданных n и w (0 < w < 1) соответствующее tw (что можно сделать, например, по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ для величины а, имеющей значимости уровень w.
При больших n формула (2), связывающая w и tw, приближённо может быть заменена формулой
(3)
Эту формулу иногда неправильно применяют для определения tw при небольших n, что приводит к грубым ошибкам. Так, для w = 0,99 по формуле (3) находим t0,99 = 2,58; истинные значения t0,99 для малых n приведены в следующей таблице:
выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой таблицей неравенство
Об оценке по Малые выборки теоретической дисперсии s2 см. «Хи-квадрат» распределение . Разработаны также аналогичные методы оценки по Малые выборки параметров многомерных распределении (например, коэффициента корреляции).
Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, «Известия АН СССР. Серия математическая», 1942, т. 6, No 1-2; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.
Ю. В. Прохоров.