০.৯৯৯...

০.৯৯৯... একটি পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে নির্দেশ করে। একে অন্যভাবেও লিখা যায়:${\displaystyle 0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}}${\displaystyle 0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}} অথবা${\displaystyle \ 0.(9)}${\displaystyle \ 0.(9)}। নির্দিষ্টভাবে এই সংখ্যাটিকে ১-এর সমান ধরা হয়। অর্থাৎ ০.৯৯৯... সংখ্যাটি সংখ্যাগত দিক থেকে ১-কেই নির্দেশ করে। এই বিষয়কে কেন্দ্র করে গণিতের বিভিন্ন শাখায় অনেকগুলো প্রামাণিক উপপাদ্যের সৃষ্টি হয়েছে।

ধরা যাক x= 0.999..... তাহলে, 10x = 9.999.....

অতএব, (10x - x)= (9.999.... - 0.999....) বা, 9x = 9 অতঃপর নিশ্চিতভাবেই x = 1.

অর্থাৎ, 0.999... মানে প্রায় 1 নয়! একেবারে কাটায় কাটায় 1.

অসীম দশমিক যে সসীম দশমিকেরই একটিপরিবর্ধিত রূপ তার কারণ হল ভগ্নাংশে প্রকাশ। দীর্ঘ বিভাজন ব্যবহার করে ১⁄৩ এর মতো অতি সরল পূর্ণ সাংখ্যিক বিভজনকেও পুনরাবৃত্তিক ভগ্নাংশে পরিণত করা যায়, যাতে অঙ্কগুলো অসীম পর্যন্ত পুনরাবৃত্ত হয়। এই দশমিক ০.৯৯৯%=১ এর একটি দ্রুততর প্রমাণ প্রদান করে। ৩ কে ৩ দিয়ে গুণ করলে প্রতিটি অঙ্ক ৯ হয়, তাই ৩ x ০.৩৩৩% সমান ০.৯৯৯%। আবার ৩ ×ばつ ১⁄৩ সমান ১, তাই ০.৯৯৯... = ১।^[১] এ প্রমাণের আরেকটি রূপে ভগ্নাংশ ১⁄৯ = ০.১১১... কে ৯ দ্বারা গুণ করা হয়।

${\displaystyle {\begin{aligned}0.333\dots &{}={\frac {1}{3}}\3円\times 0.333\dots &{}=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\0円.999\dots &{}=1\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}0.333\dots &{}={\frac {1}{3}}\3円\times 0.333\dots &{}=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\0円.999\dots &{}=1\end{aligned}}} ${\displaystyle {\begin{aligned}0.111\dots &{}={\frac {1}{9}}\9円\times 0.111\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\0円.999\dots &{}=1\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}0.111\dots &{}={\frac {1}{9}}\9円\times 0.111\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\0円.999\dots &{}=1\end{aligned}}}

1. ↑ cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. আইএসবিএন ০-৩১২-১৮৫৪৮-০.

• .999999... = 1? from cut-the-knot
• Why does 0.9999... = 1 ?
• Ask A Scientist: Repeating Decimals

• অসম্পূর্ণ গণিত নিবন্ধ
• গাণিতিক হেঁয়ালি
• বাস্তব বিশ্লেষণ
• বাস্তব সংখ্যা
• প্রমাণ সংবলিত নিবন্ধ
• এক

• অসম্পূর্ণ