ত্রিকনমিতিতে , ত্রিকোণমিতিক সুত্রসমূহ হল এমন সমীকরণ যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে জড়িত করে এবং যেগুলির জন্য সমতার উভয় দিককে সংজ্ঞায়িত করা হয় সেই চলকগুলির প্রতিটি মানের জন্য সত্য ৷ জ্যামিতিকভাবে, এগুলি এক বা একাধিক কোণের নির্দিষ্ট ফাংশন জড়িত অভেদ । এগুলি ত্রিভুজের অভেদ থেকে আলাদা, যেগুলি সম্ভাব্য কোণ জড়িত কিন্তু পার্শ্ব দৈর্ঘ্য বা ত্রিভুজের অন্যান্য দৈর্ঘ্যও জড়িত।
যখনই ত্রিকোণমিতিক ফাংশন জড়িত রাশিকে সরলীকরণের প্রয়োজন হয় তখন এই সূত্রগুলি কার্যকর। একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল অ-ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির যোগজীকরণ , একটি সাধারণ কৌশলের মধ্যে প্রথমে ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে এবং তারপর ত্রিকোণমিতিক সূত্রের সাথে প্রাপ্ত অবিচ্ছেদ্যকে সরল করা হয়।
একক বৃত্তে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং তাদের গুণক বিপরীত । সমকোণী ত্রিভুজের সবগুলোই একই রকম, অর্থাৎ তাদের সংশ্লিষ্ট পাশের মধ্যে অনুপাত একই। সাইন, কোসাইন এবং টেনজেন্ট-এর জন্য একক-দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধ ত্রিভুজের কর্ণ গঠন করে যা তাদের সংজ্ঞায়িত করে। গুণক বিপরীত পরিচয়গুলি ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত হিসাবে উদ্ভূত হয় যেখানে এই একক রেখাটি আর কর্ণ নয়। নীল ত্রিভুজটি এই পরিচয়টি চিত্রিত করে
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }
tan
2
θ
+
1
=
sec
2
θ
{\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta }
সাইন এবং কোসাইন -এর মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক নিম্ন পিথাগোরীয় অভেদ দ্বারা দেওয়া হয়েছে:
sin
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
,
{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}
যেখানে
sin
2
θ
{\displaystyle \sin ^{2}\theta }
(
sin
θ
)
2
{\displaystyle (\sin \theta )^{2}}
cos
2
θ
{\displaystyle \cos ^{2}\theta }
(
cos
θ
)
2
{\displaystyle (\cos \theta )^{2}}
এটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি সংস্করণ হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং নিম্ন সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
একক বৃত্তের জন্য । এই সমীকরণটি সাইন বা কোসাইনের জন্য সমাধান করা যেতে পারে:
sin
θ
=
±
1
−
cos
2
θ
,
cos
θ
=
±
1
−
sin
2
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}
যেখানে চিহ্নটি
θ
{\displaystyle \theta }
এই অভেদকে
sin
2
θ
{\displaystyle \sin ^{2}\theta }
cos
2
θ
{\displaystyle \cos ^{2}\theta }
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
sec
2
θ
+
csc
2
θ
=
sec
2
θ
csc
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}
এই অভেদগুলি ব্যবহার করে যেকোনো ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে অন্য যেকোনো পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা সম্ভব ।
অন্য পাঁচটির প্রতিটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রতিটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন.[ ১]
পরিপ্রেক্ষিতে
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta }
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta }
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta }
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta }
sin
θ
=
{\displaystyle \sin \theta =}
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
1
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}
±
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}
±
sec
2
θ
−
1
sec
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}
±
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
±
1
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
csc
θ
=
{\displaystyle \csc \theta =}
1
sin
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta }
±
1
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
±
sec
θ
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
±
1
+
tan
2
θ
tan
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}
±
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}
cos
θ
=
{\displaystyle \cos \theta =}
±
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}
±
csc
2
θ
−
1
csc
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
1
sec
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}
±
1
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
±
cot
θ
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
sec
θ
=
{\displaystyle \sec \theta =}
±
1
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}
±
csc
θ
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}
1
cos
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta }
±
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}
±
1
+
cot
2
θ
cot
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}
tan
θ
=
{\displaystyle \tan \theta =}
±
sin
θ
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}
±
1
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}
±
1
−
cos
2
θ
cos
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}
±
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta }
1
cot
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}
cot
θ
=
{\displaystyle \cot \theta =}
±
1
−
sin
2
θ
sin
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}
±
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}
±
cos
θ
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
±
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
1
tan
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta }
প্রতিফলন, পরিবর্তন, এবং পর্যায়ক্রম [ সম্পাদনা ] একক বৃত্ত পরীক্ষা করে, কেউ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি স্থাপন করতে পারে।
Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates (a,b). As the angle is reflected in increments of one-quarter pi (45 degrees), the coordinates are transformed. For a transformation of one-quarter pi (45 degrees, or 90 – theta), the coordinates are transformed to (b,a). Another increment of the angle of reflection by one-quarter pi (90 degrees total, or 180 – theta) transforms the coordinates to (-a,b). A third increment of the angle of reflection by another one-quarter pi (135 degrees total, or 270 – theta) transforms the coordinates to (-b,-a). A final increment of one-quarter pi (180 degrees total, or 360 – theta) transforms the coordinates to (a,-b).
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
α
{\displaystyle \alpha }
a , b )।যখন একটি ইউক্লিডীয় ভেক্টরের দিক একটি কোণ
θ
,
{\displaystyle \theta ,}
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
θ
′
=
2
α
−
θ
.
{\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}
এই কোণগুলির ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান
θ
,
θ
′
{\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}
α
{\displaystyle \alpha }
হ্রাস সূত্র নামেও পরিচিত৷[ ২]
θ
{\displaystyle \theta }
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
[ ৩] odd/even identities
θ
{\displaystyle \theta }
α
=
π
4
{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}
θ
{\displaystyle \theta }
α
=
π
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}
θ
{\displaystyle \theta }
α
=
3
π
4
{\displaystyle \alpha ={\frac {3\pi }{4}}}
θ
{\displaystyle \theta }
α
=
π
{\displaystyle \alpha =\pi }
compare to
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
sin
(
−
θ
)
=
−
sin
θ
{\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }
sin
(
π
2
−
θ
)
=
cos
θ
{\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }
sin
(
π
−
θ
)
=
+
sin
θ
{\displaystyle \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta }
sin
(
3
π
2
−
θ
)
=
−
cos
θ
{\displaystyle \sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta }
sin
(
2
π
−
θ
)
=
−
sin
(
θ
)
=
sin
(
−
θ
)
{\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )}
cos
(
−
θ
)
=
+
cos
θ
{\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta }
cos
(
π
2
−
θ
)
=
sin
θ
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }
cos
(
π
−
θ
)
=
−
cos
θ
{\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }
cos
(
3
π
2
−
θ
)
=
−
sin
θ
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta }
cos
(
2
π
−
θ
)
=
+
cos
(
θ
)
=
cos
(
−
θ
)
{\displaystyle \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )}
tan
(
−
θ
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }
tan
(
π
2
−
θ
)
=
cot
θ
{\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta }
tan
(
π
−
θ
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }
tan
(
3
π
2
−
θ
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle \tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta }
tan
(
2
π
−
θ
)
=
−
tan
(
θ
)
=
tan
(
−
θ
)
{\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )}
csc
(
−
θ
)
=
−
csc
θ
{\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta }
csc
(
π
2
−
θ
)
=
sec
θ
{\displaystyle \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta }
csc
(
π
−
θ
)
=
+
csc
θ
{\displaystyle \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta }
csc
(
3
π
2
−
θ
)
=
−
sec
θ
{\displaystyle \csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta }
csc
(
2
π
−
θ
)
=
−
csc
(
θ
)
=
csc
(
−
θ
)
{\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )}
sec
(
−
θ
)
=
+
sec
θ
{\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta }
sec
(
π
2
−
θ
)
=
csc
θ
{\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta }
sec
(
π
−
θ
)
=
−
sec
θ
{\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }
sec
(
3
π
2
−
θ
)
=
−
csc
θ
{\displaystyle \sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta }
sec
(
2
π
−
θ
)
=
+
sec
(
θ
)
=
sec
(
−
θ
)
{\displaystyle \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )}
cot
(
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta }
cot
(
π
2
−
θ
)
=
tan
θ
{\displaystyle \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta }
cot
(
π
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }
cot
(
3
π
2
−
θ
)
=
+
tan
θ
{\displaystyle \cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta }
cot
(
2
π
−
θ
)
=
−
cot
(
θ
)
=
cot
(
−
θ
)
{\displaystyle \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )}
Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates (a,b). As the swept angle is incremented by one-half pi (90 degrees), the coordinates are transformed to (-b,a). Another increment of one-half pi (180 degrees total) transforms the coordinates to (-a,-b). A final increment of one-half pi (270 degrees total) transforms the coordinates to (b,a).
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
θ
{\displaystyle \theta }
a , b )।
এক চতুর্থাংশ পর্যায় দ্বারা স্থানান্তর
অর্ধেক পর্যায় দ্বারা স্থানান্তর
সম্পূর্ণ পর্যায় দ্বারা স্থানান্তর করুন[ ৪]
পর্যায়
sin
(
θ
±
π
2
)
=
±
cos
θ
{\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta }
sin
(
θ
+
π
)
=
−
sin
θ
{\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }
sin
(
θ
+
k
⋅
2
π
)
=
+
sin
θ
{\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
cos
(
θ
±
π
2
)
=
∓
sin
θ
{\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta }
cos
(
θ
+
π
)
=
−
cos
θ
{\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }
cos
(
θ
+
k
⋅
2
π
)
=
+
cos
θ
{\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
csc
(
θ
±
π
2
)
=
±
sec
θ
{\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta }
csc
(
θ
+
π
)
=
−
csc
θ
{\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }
csc
(
θ
+
k
⋅
2
π
)
=
+
csc
θ
{\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
sec
(
θ
±
π
2
)
=
∓
csc
θ
{\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta }
sec
(
θ
+
π
)
=
−
sec
θ
{\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }
sec
(
θ
+
k
⋅
2
π
)
=
+
sec
θ
{\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
tan
(
θ
±
π
4
)
=
tan
θ
±
1
1
∓
tan
θ
{\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}}
tan
(
θ
+
π
2
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta }
tan
(
θ
+
k
⋅
π
)
=
+
tan
θ
{\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta }
π
{\displaystyle \pi }
cot
(
θ
±
π
4
)
=
cot
θ
∓
1
1
±
cot
θ
{\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}}
cot
(
θ
+
π
2
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta }
cot
(
θ
+
k
⋅
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta }
π
{\displaystyle \pi }
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্ন কোণের চতুর্ভুজের উপর নির্ভর করে । যদি
−
π
<
θ
≤
π
{\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }
sgn হয় চিহ্ন ফাংশন , তাহলে:
sgn
(
sin
θ
)
=
sgn
(
csc
θ
)
=
{
+
1
if
0
<
θ
<
π
−
1
if
−
π
<
θ
<
0
0
if
θ
∈
{
0
,
π
}
sgn
(
cos
θ
)
=
sgn
(
sec
θ
)
=
{
+
1
if
−
1
2
π
<
θ
<
1
2
π
−
1
if
−
π
<
θ
<
−
1
2
π
or
1
2
π
<
θ
<
π
0
if
θ
∈
{
−
1
2
π
,
1
2
π
}
sgn
(
tan
θ
)
=
sgn
(
cot
θ
)
=
{
+
1
if
−
π
<
θ
<
−
1
2
π
or
0
<
θ
<
1
2
π
−
1
if
−
1
2
π
<
θ
<
0
or
1
2
π
<
θ
<
π
0
if
θ
∈
{
−
1
2
π
,
0
,
1
2
π
,
π
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\0円&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \0円&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \0円&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সাধারণ সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয়
2
π
,
{\displaystyle 2\pi ,}
θ এর মানের জন্য
(
−
π
,
π
]
,
{\displaystyle ({-\pi },\pi ],}
§ Shifts এবং পর্যায়ক্রম দেখুন)।
কোণ যোগফল এবং পার্থক্য পরিচয় [ সম্পাদনা ] তীব্র কোণের সাইন এবং কোসাইনের জন্য কোণ যোগ সূত্রের চিত্রণ। জোর দেওয়া অংশটি একক দৈর্ঘ্যের।
sin
(
α
−
β
)
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}
cos
(
α
−
β
)
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}
এগুলি কোণ যোগ এবং বিয়োগ উপপাদ্য (বা সূত্র ) নামেও পরিচিত।
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
−
cos
α
sin
β
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
cos
(
α
−
β
)
=
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}
sin
(
α
−
β
)
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}
cos
(
α
−
β
)
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}
β
{\displaystyle \beta }
sin
(
−
β
)
=
−
sin
(
β
)
{\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}
c
o
s
(
−
β
)
=
cos
(
β
)
{\displaystyle \ cos(-\beta )=\cos(\beta )}
এই অভেদগুলি নিম্নলিখিত সারণীর প্রথম দুটি সারিতে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে, এতে অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্যও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।
সাইন
sin
(
α
±
β
)
{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )}
=
{\displaystyle =}
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
[ ৫] [ ৬]
কোসাইন
cos
(
α
±
β
)
{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )}
=
{\displaystyle =}
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
[ ৬] [ ৭]
ট্যাঞ্জেন্ট
tan
(
α
±
β
)
{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )}
=
{\displaystyle =}
tan
α
±
tan
β
1
∓
tan
α
tan
β
{\displaystyle {\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}
[ ৬] [ ৮]
কোসেক্যান্ট
csc
(
α
±
β
)
{\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )}
=
{\displaystyle =}
sec
α
sec
β
csc
α
csc
β
sec
α
csc
β
±
csc
α
sec
β
{\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}}
[ ৯]
সেক্যান্ট
sec
(
α
±
β
)
{\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )}
=
{\displaystyle =}
sec
α
sec
β
csc
α
csc
β
csc
α
csc
β
∓
sec
α
sec
β
{\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}}
[ ৯]
কোট্যাঞ্জেন্ট
cot
(
α
±
β
)
{\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )}
=
{\displaystyle =}
cot
α
cot
β
∓
1
cot
β
±
cot
α
{\displaystyle {\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}
[ ৬] [ ১০]
আর্ক সাইন
arcsin
x
±
arcsin
y
{\displaystyle \arcsin x\pm \arcsin y}
=
{\displaystyle =}
arcsin
(
x
1
−
y
2
±
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
[ ১১]
আর্ক কোসাইন
arccos
x
±
arccos
y
{\displaystyle \arccos x\pm \arccos y}
=
{\displaystyle =}
arccos
(
x
y
∓
(
1
−
x
2
)
(
1
−
y
2
)
)
{\displaystyle \arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)}
[ ১২]
আর্ক ট্যাঞ্জেন্ট
arctan
x
±
arctan
y
{\displaystyle \arctan x\pm \arctan y}
=
{\displaystyle =}
arctan
(
x
±
y
1
∓
x
y
)
{\displaystyle \arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)}
[ ১৩]
আর্ক কোট্যাঞ্জেন্ট
arccot
x
±
arccot
y
{\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y}
=
{\displaystyle =}
arccot
(
x
y
∓
1
y
±
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}
Tn হল n তম চেবিশেভ বহুপদী
cos
(
n
θ
)
=
T
n
(
cos
θ
)
{\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}
[ ১৪]
ডি মোইভারের সূত্র , i হল কাল্পনিক একক
cos
(
n
θ
)
+
i
sin
(
n
θ
)
=
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
{\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}}
[ ১৫]
সাইনের জন্য দ্বি-কোণ সূত্রের ভিজ্যুয়াল প্রদর্শন। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, + ১ / ২ × ばつ বেস × ばつ উচ্চতা গণনা করা হয়, প্রথমে যখন খাড়া থাকে এবং তারপরে তার পাশে থাকে। সোজা হলে, এলাকা =
sin
θ
cos
θ
{\displaystyle \sin \theta \cos \theta }
1
2
sin
2
θ
{\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta }
sin
2
θ
=
2
sin
θ
cos
θ
{\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }
দ্বিগুণ কোণের জন্য সূত্র। [ ১৬]
sin
(
2
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
=
(
sin
θ
+
cos
θ
)
2
−
1
=
2
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
cos
(
2
θ
)
=
cos
2
θ
−
sin
2
θ
=
2
cos
2
θ
−
1
=
1
−
2
sin
2
θ
=
1
−
tan
2
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
tan
(
2
θ
)
=
2
tan
θ
1
−
tan
2
θ
{\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}
cot
(
2
θ
)
=
cot
2
θ
−
1
2
cot
θ
=
1
−
tan
2
θ
2
tan
θ
{\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}
sec
(
2
θ
)
=
sec
2
θ
2
−
sec
2
θ
=
1
+
tan
2
θ
1
−
tan
2
θ
{\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}
csc
(
2
θ
)
=
sec
θ
csc
θ
2
=
1
+
tan
2
θ
2
tan
θ
{\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}
ট্রিপল অ্যাঙ্গেলের সূত্র।
sin
(
3
θ
)
=
3
sin
θ
−
4
sin
3
θ
=
4
sin
θ
sin
(
π
3
−
θ
)
sin
(
π
3
+
θ
)
{\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}
cos
(
3
θ
)
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
=
4
cos
θ
cos
(
π
3
−
θ
)
cos
(
π
3
+
θ
)
{\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}
tan
(
3
θ
)
=
3
tan
θ
−
tan
3
θ
1
−
3
tan
2
θ
=
tan
θ
tan
(
π
3
−
θ
)
tan
(
π
3
+
θ
)
{\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}
cot
(
3
θ
)
=
3
cot
θ
−
cot
3
θ
1
−
3
cot
2
θ
{\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}
sec
(
3
θ
)
=
sec
3
θ
4
−
3
sec
2
θ
{\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}
csc
(
3
θ
)
=
csc
3
θ
3
csc
2
θ
−
4
{\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}
sin
(
n
θ
)
=
∑
k
odd
(
−
1
)
k
−
1
2
(
n
k
)
cos
n
−
k
θ
sin
k
θ
=
sin
θ
∑
i
=
0
(
n
+
1
)
/
2
∑
j
=
0
i
(
−
1
)
i
−
j
(
n
2
i
+
1
)
(
i
j
)
cos
n
−
2
(
i
−
j
)
−
1
θ
=
2
(
n
−
1
)
∏
k
=
0
n
−
1
sin
(
k
π
/
n
+
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}}
cos
(
n
θ
)
=
∑
k
even
(
−
1
)
k
2
(
n
k
)
cos
n
−
k
θ
sin
k
θ
=
∑
i
=
0
n
/
2
∑
j
=
0
i
(
−
1
)
i
−
j
(
n
2
i
)
(
i
j
)
cos
n
−
2
(
i
−
j
)
θ
{\displaystyle \cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta }
cos
(
(
2
n
+
1
)
θ
)
=
(
−
1
)
n
2
2
n
∏
k
=
0
2
n
cos
(
k
π
/
(
2
n
+
1
)
−
θ
)
{\displaystyle \cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )}
cos
(
2
n
θ
)
=
(
−
1
)
n
2
2
n
−
1
∏
k
=
0
2
n
−
1
cos
(
(
1
+
2
k
)
π
/
(
4
n
)
−
θ
)
{\displaystyle \cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )}
tan
(
n
θ
)
=
∑
k
odd
(
−
1
)
k
−
1
2
(
n
k
)
tan
k
θ
∑
k
even
(
−
1
)
k
2
(
n
k
)
tan
k
θ
{\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}}
↑ টেমপ্লেট:AS ref ↑ সেল্বি ১৯৭০ , p. 188↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–9
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
↑ ক খ গ ঘ এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Trigonometric Addition Formulas "।↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
↑ ক খ "Angle Sum and Difference Identities" । www.milefoot.com । সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১০-১২ । ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.32
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.33
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.34
↑ এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Multiple-Angle Formulas "।↑ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
↑ Selby 1970 , pg. 190
_and_cos(a-b).svg){kind=link}
