ঘূর্ণন (কোণ)

ঘূর্ণন
যার একক	সমতলীয় কোণ
প্রতীক	tr, pla or τ
একক রূপান্তর
১ tr ...	... সমান ...
রেডিয়ান	২π রেডিয়ান ≈ ৬.২৮৩১৮৫৩১... রেডিয়ান
মিলিরেডিয়ান	২০০০π মিলিরেডিয়ান ≈ ৬২৮৩.১৮৫৩১... মিলিরেডিয়ান
ডিগ্রী	৩৬০°
গ্রেডিয়ান	৪০০^g

কেন্দ্রের চারদিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে আবর্তন যেখানে একটি সম্পূর্ণ আবর্তন সমান ১ ঘূর্ণন।

ঘূর্ণন হলো সমতলীয় কোণ পরিমাপের একটি একক যা ২π রেডিয়ান, ৩৬০ ডিগ্রী বা ৪০০ গ্রেডিয়ান এর সমান। এক ঘূর্ণনকে চক্র, সম্পূর্ণ আবর্তন বা পূর্ণ বৃত্তও বলা হয়ে থাকে।

একটি ঘূর্ণনকে অর্ধ ঘূর্ণন, কোয়ার্টার ঘূর্ণন, সেন্টিঘূর্ণন, মিলিঘূর্ণন, পয়েন্ট ইত্যাদিতে ভাগ করা যায়।

ঘূর্ণনের উপভাগ

[সম্পাদনা ]

একটি ঘূর্ণনকে ১০০ সেন্টিঘূর্ণন বা ১০০০ মিলিঘূর্ণনে ভাগ করা যায়, যেখানে প্রতিটি মিলিঘূর্ণন সংশ্লিষ্ট কোণের মাপ ০.৩৬°, যাকে ২১′ ৩৬′′ ও লেখা যায়।^[১]^[২]^[২] একটি সেন্টিঘূর্ণনে বিভক্ত চাঁদাকে সাধারণত শতাংশ চাঁদা বলা হয়।

ঘূর্ণনের বাইনারি ভগ্নাংশও ব্যবহৃত হয়ে থাকে। জাহাজের নাবিকরা ঐতিহ্যগতভাবে একটি ঘূর্ণনকে ৩২টি কম্পাস পয়েন্টে ভাগ করেছেন। বাইনারি ডিগ্রী, ওরফে বাইনারি রেডিয়ান (বা brad), হলো একটি ঘূর্ণনের +১/২৫৬ অংশ।^[৩] আধুনিক হিসাব নিকাশে এই বাইনারি ডিগ্রী ব্যবহৃত হয়, কারণ এক একক বাইটে একটি কোণকে সর্বোচ্চ সম্ভাব্য নির্ভুলতায় প্রকাশ করা যায়। আধুনিক হিসাবের ক্ষেত্রে কোণের অন্যান্য পরিমাপ হিসেবে, একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণনকে n এর বিভিন্ন মানের জন্য ২ⁿ সংখ্যক সমান ভাগে ভাগ করে তার উপর ভিত্তি করে ব্যবহৃত হতে পারে।^[৪]

ঘূর্ণনের ধারণা সাধারণত সমতলীয় আবর্তনের ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়।

ইতিহাস

[সম্পাদনা ]

গ্রীক শব্দ τόρνος (tórnos – লেদ মেশিন) থেকে ল্যাটিন এবং ফ্রেঞ্চ ভাষার মাধ্যমে ঘূর্ণন শব্দটির জন্ম।

১৬৯৭ সনে, ডেভিড গ্রেগরি বৃত্তের পরিধি ও এর ব্যাসার্ধের ভাগফল বোঝাতে +π/ρ (পাই বাই রো) ব্যবহার করেন।^[৫]^[৬] যাহোক, ১৬৪৭ এর প্রথম দিকে, উইলিয়াম উট্রেড ব্যাস ও পরিধির অনুপাত প্রকাশে +δ/π (ডেলটা বাই পাই) ব্যবহার করেন। π চিহ্নকে এর বর্তমান অর্থ(পরিধি ও ব্যাসের ভাগফল)সহ ওয়েল্‌সের গণিতবিদ উইলিয়াম জোনস সর্বপ্রথম ১৭০৬ সালে ব্যবহার করেন।^[৭] লেওনার্ড অয়লার ১৭৩৭ সালে পাইকে একই অর্থসহ গ্রহণ করেন, যার ফলে এটি সর্বজনবিস্তৃতি লাভ করে।

১৯২২ সাল থেকেই শতাংশ চাঁদার অস্তিত্ব থাকলেও,^[৮] সেন্টিঘূর্ণন, মিলিঘূর্ণন এবং মাইক্রোঘূর্ণন এর মতো রাশিগুলো অনেক দেরিতে, ১৯৬২ সালে ব্রিটিশ জ্যোতির্বিদ ফ্রেড হয়েলের দ্বারা প্রবর্তিত হয়।^[১]^[২] আর্টিলারি ও উপগ্রহ পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত কিছু পরিমাপক যন্ত্রে মিলিঘূর্ণন স্কেলে দাগ কাটা থাকে।^[৯]^[১০]

এককের প্রতীক

[সম্পাদনা ]

জার্মান স্ট্যান্ডার্ড DIN 1315 (মার্চ ১৯৭৪) ঘূর্ণন এককের জন্য pla (ল্যাটিন: plenus angulus "পূর্ণ কোণ") প্রতীক প্রস্তাব করে।^[১১]^[১২] DIN 1301-1 (অক্টোবর ২০১০) এ বলা হয়, বহুল পরিচিত Vollwinkel (বাংলা: "পূর্ণ কোণ") একক কোনো এস.আই. একক নয়, তবে ইউরোপীয় ইউনিয়ন^[১৩]^[১৪] ও সুইজারল্যান্ডে^[১৫] প্রচলিত একটি পরিমাপের বৈধ একক।

ISO 80000-3:2006 স্ট্যান্ডার্ডে উল্লিখিত হয়, ঘূর্ণন মেশিনে r প্রতীক বিশিষ্ট revolution নামক একক ব্যবহৃত হয়, এবং উক্ত স্ট্যান্ডার্ড পূর্ণ আবর্তন বোঝাতে ঘূর্ণন রাশি ব্যবহার করে। IEEE 260.1:2004 স্ট্যান্ডার্ডও rotation নামক একক ও r প্রতীক ব্যবহার করে।

HP 39gII এবং HP Prime সায়েন্টিফিক ক্যালকুলেটদ্বয় যথাক্রমে ২০১১ ও ২০১৩ সাল থেকে ঘূর্ণনের একক হিসেবে tr প্রতীক সমর্থন করে। ২০১৬ তে HP 50g, এবং ২০১৭ তে hp 39g+, HP 49g+, HP 39gs ও HP 40gs ক্যালকুলেটর গুলোর আর.পি.এল-এও tr প্রতীকের সমর্থন যোগ করা হয়।^[১৬]^[১৭] WP 43S এর জন্যেও একটি কৌণিক মোড TURN প্রস্তাবিত হয়,^[১৮] তবে তার পরিবর্তে ক্যালকুলেটরটিতে ২০১৯ সাল থেকে মোড ও একক হিসেবে MULπ (π এর গুণক ) ব্যবহৃত হয়।^[১৯]^[২০]

এককের রূপান্তর

[সম্পাদনা ]

একক বৃত্ত(যার ব্যাসার্ধ হলো ১ একক) -এর পরিধি এর মান ২π।

τ

১ ঘূর্ণন সমান ২π (≈ টেমপ্লেট:৬.২৮৩ ১৮৫ ৩০৭ ১৭৯ ৫৮৬)^[২১] রেডিয়ান।

সাধারণ কোণসমূহের রূপান্তর
ঘূর্ণন	রেডিয়ান	ডিগ্রী	গ্রেডিয়ান
০	০	০°	০^g
+১/২৪	+π/১২	১৫°	৩+১৬/২^g
+১/১২	+π/৬	৩০°	৩+৩৩/১^g
+১/১০	+π/৫	৩৬°	৪০^g
+১/৮	+π/৪	৪৫°	৫০^g
+১/২π	১	আনু. ৫৭.৩°	আনু. ৬৩.৭^g
+১/৬	+π/৩	৬০°	৩+৬৬/২^g
+১/৫	+২π/৫	৭২°	৮০^g
+১/৪	+π/২	৯০°	১০০^g
+১/৩	+২π/৩	১২০°	৩+১৩৩/১^g
+২/৫	+৪π/৫	১৪৪°	১৬০^g
+১/২	π	১৮০°	২০০^g
+৩/৪	+৩π/২	২৭০°	৩০০^g
১	২π	৩৬০°	৪০০^g

টাও প্রস্তাবনা

[সম্পাদনা ]

বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের মান ১ রেডিয়ান। একটি পূর্ণ বৃত্ত এক পূর্ণ ঘূর্ণনের সমান, বা ৬.২৮ রেডিয়ান প্রায়, যাকে এখানে গ্রিক অক্ষর টাও (τ) দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে।

τ এর ব্যবহার আরও ব্যাপক আকার ধারণ করেছে,^[২২] উদাহরণসরূপ:

২০১৭ সালের জুনে, পাইথন প্রোগ্রামিং ভাষার ৩.৬ ভার্শনের মুক্তিতে এক ঘূর্ণনে উপস্থিত রেডিয়ানের সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য টাও নামটি গ্রহণ করে।
গুগল ক্যালকুলেটরে এবং পাইথন,^[২৩] রাকু,^[২৪] প্রসেসিং,^[২৫] নিম^[২৬] এবং রাস্টের^[২৭] মতো বেশ কয়েকটি প্রোগ্রামিং ভাষায় τ-কার্যকারিতাটি উপলব্ধ করা হয়।
τ-প্রচারক পিটার হারেমোস^[২৮] দ্বারা রচিত কমপক্ষে একটি গাণিতিক গবেষণা নিবন্ধেও^[২৯] এটি ব্যবহৃত হয়েছে।
২০২০ সালে, .নেট কোরএর ৫.০ ভার্শনের মুক্তিতে টাও যুক্ত হয়েছিল (যা ৫.০ ভার্শনের মুক্তির জন্য ".NET" হিসাবে পুনরায় ব্র্যান্ড করা হয়েছে)।^[৩০]

নিম্নলিখিত টেবিলটিতে, τ := π এর পরিবর্তে τ := ২π ব্যবহার করা হলে কীভাবে বিভিন্ন পরিচয় এবং বৈষম্য উপস্থিত হয় তা দেখানো হলো:^[৩১]^[৩২]

Using τ := ২ π	Using π	Formula	Notes
+১/৪ τ	+১/২ π	একটি বৃত্তের +১/৪ (রেডিয়ান এককে কোণ হিসেবে)
C = τ r	C = 2 π r	r ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি C
0 e^{i τ} = 1 e^{i τ} – 1 = 0	0 e^{i π} = - 1 e^{i π} + 1 = 0	অয়লারের সূত্র
A = +১/২ τ r²	A = π r²	বৃত্তের ক্ষেত্রফল	The +১/২ আরও স্পষ্টভাবে প্রকাশ করে যে ক্ষেত্রফল পরিধিটির সমাকলন। গতিশক্তি +১/২ m v² এবং স্প্রিং শক্তি +১/২ k x². এর মধ্যে তুলনা করে
$\hbar ={\frac {h}{\tau }}$ {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{\tau }}}	$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}	হ্রাসকৃত প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক
$\omega ={{\tau } \over T}={\tau f}$ {\displaystyle \omega ={{\tau } \over T}={\tau f}}	$\omega ={{2\pi } \over T}={2\pi f}$ {\displaystyle \omega ={{2\pi } \over T}={2\pi f}}	কৌণিক কম্পাঙ্ক
A = +n/২ sin +τ/n	A = n sin +π/n cos +π/n	একটি একক পরিব্যাসার্ধের সাধারণ n-ভুজ
$V_{n}(R)={\frac {\tau ^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }R^{n}}{n!!}}\cdot (1+n\operatorname {mod} 2)$ {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\tau ^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }R^{n}}{n!!}}\cdot (1+n\operatorname {mod} 2)}	$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}$ {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}}	একটি n-বলের আয়তন
$S_{n}(R)={\frac {\tau ^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }R^{n}}{(n-1)!!}}\cdot (2-(n\operatorname {mod} 2))$ {\displaystyle S_{n}(R)={\frac {\tau ^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }R^{n}}{(n-1)!!}}\cdot (2-(n\operatorname {mod} 2))}	$S_{n}(R)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}}}R^{n}$ {\displaystyle S_{n}(R)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}}}R^{n}}	একটি n-বলের পৃষ্টের ক্ষেত্রফল
$f(a)={\frac {1}{\tau i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}},円dz$ {\displaystyle f(a)={\frac {1}{\tau i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}},円dz}	$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}},円dz$ {\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}},円dz}	কশীর সমাকলন সুত্র
$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\tau }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}$ {\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\tau }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}	$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}$ {\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}	স্বাভাবিক বন্টন
$\left\{e^{i\tau k/n}\right\}$ {\displaystyle \left\{e^{i\tau k/n}\right\}}	$\left\{e^{i2\pi k/n}\right\}$ {\displaystyle \left\{e^{i2\pi k/n}\right\}}	এককের n-তম মূল
$e^{\tau i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k\tau }{n}}+i\sin {\frac {k\tau }{n}}$ {\displaystyle e^{\tau i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k\tau }{n}}+i\sin {\frac {k\tau }{n}}}	$e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}$ {\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}}	এককের মূল
$n!\sim {\sqrt {\tau n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ {\displaystyle n!\sim {\sqrt {\tau n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}	$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}	স্টারলিং এর অনুমান সুত্র
τ f L	2 π f L	আবেশকএর প্রতিক্রিয়া
τ f C	2 π f C	ধারকএর সংবেদন

ব্যবহারের উদাহরণ

[সম্পাদনা ]

একটি কৌণিক একক হিসাবে, ঘূর্ণন বা আবর্তন বিশেষত তড়িৎ চৌম্বকীয় কুণ্ডলী এবং ঘূর্ণায়মান বস্তুর মতো বড় কোণের ক্ষেত্রে দরকারী।
আবর্তনযন্ত্রের কৌণিক গতি, যেমন অটোমোবাইলের ইঞ্জিন, ইত্যাদিতে সাধারণত মিনিট প্রতি আবর্তন বা আরপিএম এককে পরিমাপ করা হয়।
বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ কোণের জটিল গতিবেগ পরিমাপ করার জন্য ঘূর্ণন ব্যবহৃত হয়। বহুভুজের বাহ্যিক কোণগুলির যোগফল এক ঘূর্ণনের সমান। কোণ দ্বিগুণকারী মানচিত্র ব্যবহৃত হয়।
পাই চার্টগুলি একটি ঘূর্ণনের ভগ্নাংশ হিসাবে সামগ্রিক অনুপাতে চিত্রিত করে। এতে প্রতিটি এক শতাংশকে এক সেন্টিঘূর্ণনের কোণ হিসাবে দেখানো হয়।^[৮]

ঘূর্ণনের গতিবিদ্যা

[সম্পাদনা ]

গতিবিদ্যায়, ঘূর্ণন হলো পূর্ণ আবর্তন থেকে ছোট কোনো প্যাঁচ। একটি জটিল তলে প্রতিটি অ-শূন্য সংখ্যার একটি পোলার স্থানাঙ্ক প্রকাশক রাশি z = r cis(a) = r cos(a) + ri sin(a) থাকে, যেখানে r > ০ এবং a [0, 2π) এ অবস্থিত। জটিল তলে একটি ঘূর্ণনের সৃষ্টি হয় যখন z = x + iy কে u = exp(b i) উপাদান দ্বারা গুন করা হয়, যার অবস্থানগত একক বৃত্তের মান:

z ↦ uz

ফ্র্যাঙ্ক মুরলি তার Inversive Geometry(১৯৩৩) বইয়ে ধারাবাহিকভাবে একক বৃত্তের উপাদানগুলিকে ঘূর্ণন এককের হিসাবে উল্লেখ করেছেন। বইটি তিনি তার পুত্র ফ্র্যাঙ্ক ভিগার মুরলি-র সাথে সহ-রচনা করেছিলেন।^[৩৩]

তথ্যসূত্র

[সম্পাদনা ]

↑ ^ক ^খ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Hoyle_1962 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ ^ক ^খ ^গ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Klein_2012 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; ooPIC নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Hargreaves_2010 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Beckmann_1989 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Schwartzman_1994 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Veling নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ ^ক ^খ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Croxton_1992 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Schiffner_1965 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Hayes_1975 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; German_2013 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Kurzweil_1999 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; EWG_1980 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; EG_2009 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Einheitenverordnung_1994 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Lapilli_2016 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Lapilli_2018 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Paul_2016 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Bonin_2019_OG নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Bonin_2019_RG নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; OEIS2C_A019692 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ McMillan, Robert (২০২০-০৩-১৩)। "For Math Fans, Nothing Can Spoil Pi Day—Except Maybe Tau Day"অর্থের বিনিময়ে সদস্যতা প্রয়োজন । Wall Street Journal (Online) (ইংরেজি ভাষায়)। আইএসএসএন 0099-9660 । সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৫-২১।
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Python_370 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Perl6 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Processing নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Nim নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ "std::f64::consts::TAU – Rust"। doc.rust-lang.org। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-২৬।
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Harremoes_Turnpage নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Harremoes_Bounds নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি
↑ https://github.com/dotnet/runtime/pull/37517
↑ Abbott, Stephen (এপ্রিল ২০১২)। "My Conversion to Tauism" (পিডিএফ)। Math Horizons। 19 (4): 34। এসটুসিআইডি 126179022। ডিওআই:10.4169/mathhorizons.19.4.34। ২৮ সেপ্টেম্বর ২০১৩ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা।
↑ Palais, Robert (২০০১)। "π Is Wrong!" (পিডিএফ)। 23 (3): 7–8। এসটুসিআইডি 120965049। ডিওআই:10.1007/BF03026846। ২৯ ফেব্রুয়ারি ২০০৮ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ৪ অক্টোবর ২০২০।
↑ উদ্ধৃতি ত্রুটি: <ref> ট্যাগ বৈধ নয়; Morley_1933 নামের সূত্রটির জন্য কোন লেখা প্রদান করা হয়নি

উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "ooPIC" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Hargreaves_2010" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Beckmann_1989" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Schwartzman_1994" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Veling" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Croxton_1992" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Hoyle_1962" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Klein_2012" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Schiffner_1965" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Hayes_1975" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "EWG_1980" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "EG_2009" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Einheitenverordnung_1994" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "German_2013" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Kurzweil_1999" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Lapilli_2016" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Lapilli_2018" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "OEIS2C_A019692" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Python_370" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Perl6" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Processing" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Nim" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Harremoes_Bounds" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Harremoes_Turnpage" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Morley_1933" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Paul_2016" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।
উদ্ধৃতি ত্রুটি: <references>-এ সংজ্ঞায়িত "Bonin_2019_OG" নামসহ <ref> ট্যাগ পূর্ববর্তী লেখায় ব্যবহৃত হয়নি।