Sommerfeld Quantensprung

ワber die Urspr?nge des Quantensprungs

Wie auch gro?e Geister im Dunkeln tappen, wenn Experimente etwas v?llig Neues ans Tageslicht bringen...

Zitate (gelb) aus Arnold Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien II. Band, S. 495 ff., Vieweg & Sohn 1967

Vorweg eine Anmerkung zum Begriff "Bremsstrahlung" (klassische Beschreibung): Ein freies Elektron wird beim Vorbeiflug am Atomkern bis zum Scheitel der Hyperbelbahn (Perihel) beschleunigt und dann wieder abgebremst. Verliert es dabei insgesamt keine Energie, so wird es elastisch gestreut und 舅dert nur seine Richtung (" Rutherfordstreuung"). Dies ist der weitaus h舫figste Prozess, der aber hier nicht gemeint ist. Bremsstrahlung bedeutet, dass das Elektron Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung abgibt, also nach dem "inelastischen Sto?" langsamer ist als vorher.

Vor etwa 100 Jahren (1911) waren die theoretischen Physiker mit einem Problem konfrontiert, das sich nicht mit der klassischen Elektrodynamik l?sen lie?: Eigentlich m?sste eine einmalig beschleunigte (gebremste) Ladung (Kathoden-Strahlen = Elektronen) ein kontinuierliches Spektrum (= wei?es R?ntgenlicht) elektromagnetischer Wellen abstrahlen, in dem beliebig hohe Frequenzen vorkommen. Aber das Spektrum der Bremsstrahlung hat eine "kurzwellige Grenze", bzw. eine maximale Frequenz, f?r die eine "Quantengleichung" gilt:

Das ist ja auch vern?nftig, denn mehr als die kinetische Energie des Elektrons kann bei der Bremsung nicht abgestrahlt werden. Das Problem ist nur: Warum gibt es eine obere Schranke f?r die Frequenz der Strahlung?

"Der Verfasser" ( = Sommerfeld) entwarf eine provisorische Theorie:

Mit diesem "ad hoc ersonnenen Postulat" erhielt Sommerfeld auch die richtige Gr??enordnung der abgestrahlten Intensit舩 der Bremsstrahlung, aber das Problem der kurzwelligen Grenze war damit nicht gel?st. Auch Einsteins Vorschlag, "das Quantenm葹ige in die Strahlung zu verlegen", f?hrte nicht zum Erfolg:

Das ist auch nicht verwunderlich, denn eine "pl?tzliche Abbremsung" (also ein Sprung der Geschwindigkeit von v auf 0) bedingt eine unendliche Beschleunigung, also eine divergente Reihe f?r die Beschleunigung. Man muss sich vielmehr wundern, wie Einstein solch ein "spukhaftes Verfahren" vorschlagen konnte. Damit w?rden die Geschwindigkeit v(t) (rot) und die Beschleunigung a(t) (blau) etwa so aussehen:

F?r die Darstellung wurde T = 5(passende Einheit) und N = 50 (siehe unten) gew臧lt. Im Zoom der rechten Spalte sieht man, dass das einer maximalen Frequenz von 10(passende Einheit) entspricht.

Abgesehen davon, dass eine Fourier-Reihe (diskrete Frequenzen) immer einen periodischen Vorgang und nicht eine einmalige Bremsung beschreibt, ist Einsteins Vorschlag in sich widerspr?chlich:

Wenn man eine Rechtecksfunktion ("pl?tzlichen Sprung") durch eine Fourierreihe approximieren will, ben?tigt man beliebig hohe Frequenzen, was auch durch Einsteins Annahme, dass "Reihenglieder nichts zur Strahlung beitragen", nicht zu beheben ist, wenn man "das beliebige Zeitintervall T" beliebig gro? w臧lt.

Deshalb schreibt Sommerfeld auch:

Man sollte also die 100 Jahre alten "ad hoc Quanten-Postulate", die "k?hnen Methoden", die "Verfahren in Ermangelung von etwas Besseren", die "Subtraktionsphysik" und den Quantensprung nicht immer wieder aus der Mottenkiste holen, zumal den gro?en Geistern schon damals klar war, dass man eine neue Theorie ben?tigt. Sie hie? damals Wellenmechanik:

In dieser Theorie gibt es keine klassischen Bahnen, sondern nur Zust舅de, die der deterministischen Schr?dingergleichung gehorchen. Im vorliegenden Fall (Bremsstrahlung, kontinuierliches Spektrum) sehen diese Zust舅de etwa so aus: Bremsstrahlung.

Die Wellenmechanik (oder allgemeiner die Quantentheorie) "stellt diese Zust舅de gegen?ber", d.h., man berechnet durch die Projektion des Anfangszustands auf den Endzustand (Matrixelement) die Wahrscheinlichkeit f?r einen ワbergang, wobei der Ursprung der Strahlung im Dunkeln bleibt! (So gesehen ist also die Quantentheorie eine ph舅omenologische Theorie ;-).

Im Falle eines diskreten Spektrums sehen die Zust舅de etwa so aus: " Atombau und Spektrallinien".

In beiden F舁len - kontinuierliches oder diskretes Spektrum - gilt: Die Frequenz der Strahlung ist gleich der Differenzfrequenz der Anfangs- und Endzust舅de, also der "Frequenzerhaltungssatz". Wenn also der Endzustand die Frequenz 0 hat ("im Unendlichen ruhendes Elektron"), dann hat die Strahlung die maximale Frequenz (oder gesamte Energie) des Anfangszustandes. Interessant dabei ist - sehr verk?rzt gesagt -, dass sich die Differenzfrequenz durch die ワberlagerung (mathematisch: Betragsquadrat der Summe) der Zust舅de ergibt und die ワbergangswahrscheinlichkeit durch die Projektion (mathematisch: Skalarprodukt).

Aber bis heute sagt die Quantentheorie nichts ?ber den zeitlichen (oder gar kausalen) Ablauf des ワbergangs aus und man lebt mit diesem unbefriedigenden Zustand, n舂lich den "zwei Dynamiken":
1. Die Zust舅de (und ihre ワberlagerung) entwickeln sich deterministisch.
2. Bei einer "Messung", also der Feststellung, dass ein ワbergang stattgefunden hat, "kollabieren die Zust舅de" - stochastisch.

Wobei die zweite "Dynamik" eigentlich von niemandem ernst genommen wird. Es gibt nicht einmal eine Gleichung daf?r und Feynman nennt den "Kollaps" eines Zustandes "a nightmare". In Ermangelung von etwas Besserem postuliert man aber manchmal noch heute, dass die トnderung pl?tzlich erfolgt: Bohrs Postulate haben wirklich eine spukhafte Fernwirkung ?ber 100 Jahre!

Mit aktuellen Experimenten (2011) ist man allerdings in der Lage, die Bewegung von Elektronen in immer k?rzeren Zeitintervallen zu verfolgen. Die Zeitaufl?sung wird derzeit von Attosekunden auf Zeptosekunden geschraubt. Und bis heute hat noch niemand einen Quantensprung oder einen Kollaps in Null Sekunden beobachtet!